一个应用数学家的辩白（微信文章未删减版）

作者 | 特雷费森

来源 | 节选自《一个应用数学家的辩白》，人民邮电出版社/图灵新知，2023.6.

本书是冯诺依曼奖得主著名数值分析专家劳埃德•尼克•特雷费森教授的心得之作。除了回顾早期学习数学的成长过程，以及深耕数值分析领域的心路历程，本书还体现了特雷费森教授对数学本身的深刻思考、对纯数学和应用数学的真切感悟，以及对数学所面临的挑战的反思。

我是一名满怀激情的数学家，但也充满了疑惑。我的生活就是数学，我觉得自己与过去的数学家之间有着紧密的联系。随着时间的推移，我研究新的问题，也收获了更多的知识和方法，我越发觉得自己就是一名数学家。然而，我又觉得如今的数学家和数学脱节了。

我写这本书的初衷是为了探索这种奇怪的情况。这很自然地会让我反思自己的职业经历，于是不久我便发现自己写的还是一本回忆录。它讲述了一位数学家在数学学科的某个独特（且非常活跃的）角落里的故事。

我从事的数学领域是数值分析，我曾在 30 年前的一篇文章里这样定义数值分析：

数值分析研究的是连续数学问题的算法。

（这里的“连续”包含了实数和复数。）传统的观点认为，有些数学家可能会提出对多项式的根的一些理解，然后由数值分析专家开发出计算它们的算法。我们如何计算这些数呢？这需要通过执行数值分析专家开发的算法。当然，数学家还发明了许多比“求解多项式的根”还复杂的问题，比如偏微分方程，它是很多自然科学的基础。数值分析专家的任务也是求解这些问题，科学家和工程师一直在用我们的方法。

牛、欧拉和高斯在他们的时代里都是杰出的数值分析专家。当时，数学家有一部分工作内容就是计算，这是不言而喻的。但此后的情况发生了变化，数学的其他分支纷纷出现并蓬勃发展，其程度在那时是无法想象的。如今，大多数顶尖的数学家对计算不感兴趣，他们习惯性地避免计算，他们可能觉得从原则上讲，计算本身并不重要，因此不屑一顾。他们还做一些其他方面的研究，而像我这样的研究人员的论文也不会发表在像《数学年鉴》这样的顶级期刊上。与此同时，数值分析领域也在蓬勃发展，当然我们有很多自己的期刊。从人员数量上讲，干我们这行的人很多，大约占从事学术研究的数学家的 5%。在科学和技术方面，我们的影响力也很大。

我个人的运气非常好。我在牛津大学担任数值分析教授，这一职位可以说是该研究领域在世界范围内最引人注目的职位。这里的数学系很大，网站上列有 100 位教授，他们与哈佛大学、麻省理工学院、斯坦福大学、加利福尼亚大学伯克利分校、剑桥大学和普林斯顿大学的教授一样，都是顶级的。不过，这些大学都没有数值分析教席，但牛津大学有。我从 1997 年起就担任数值分析教授了。我们的数值分析组自 20 世纪 60 年代成立以来，一直是英国数值分析学科的领导者，并享誉世界。我个人也广为人知，我写的教科书和技术论文被广泛阅读。我是英国皇家学会会员，美国工业与应用数学学会前主席，并且收获了许多大奖和荣誉学位。我还是贝利奥尔学院院士，这所学院成立于忽必烈在位时期。

显然，我算是成功的，事实上可能已经到了极致。这看起来不像是一个觉得自己与数学脱节的人该有的样子。那么，这到底是怎么回事呢？

青少年时期的数学

当我还是个孩子的时候，就已经开始喜欢数学了。我在马萨诸塞州的莱克星顿长大，和大多数后来成为数学家的人一样，我发现在学校里很容易算对数学题——用英国人的话说就是“做加法”。尽管作为美国人，我仍然觉得这个表达很陌生。我记得练习卷上有空格，比如 5+W = 12，你得算出空缺的那个数。这很容易，但有趣的是，我的一些同学在这方面就不那么游刃有余。大多数数学家都有类似的记忆。

1965 年那年，我 9 岁。正在学术休假的父亲带着母亲、姐姐和我一起环游世界，这让我缺勤了林荫山学校的四年级课程。我们乘坐一艘只有 11 名乘客的货轮在太平洋上行驶了 28 天后，来到了澳大利亚悉尼。我进入了悉尼的海福斯小学，那里的数学也很简单。

为了让我们和家乡的小伙伴保持同一水平，母亲教我和格威内思英语，父亲教我们额外的数学知识。这对父亲而言并不难，因为他是塔夫茨大学的机械工程教授。事实上，在悉尼的那几个月里，他领导着一个团队，首次在南半球对浴缸做了排水实验，并在严格控制的条件下观察了科里奥利效应。在我的记忆里，1965 年 5 月，我们在从布里斯班开往雅典的“埃利尼斯号”客轮上。在那些悠闲的午后，父亲就在休息室里教我们数学。（当时我们穿过苏伊士运河，而两年后，运河因 1967 年战争而关闭。）我们通过理解数轴上的小虫学习了负数。比方说，假设有一只小虫头朝左停在 −5 的位置，随后它向后跳 3 个单位。它会停在哪里呢？当然是 −2。这解释了为什么−5−(−3)=−2，我觉得这既简单又有趣。当我 10 岁回到林荫山学校时，我有一种奇怪的感觉，单凭知道如何对负数做加减乘除运算就使我比班上其他同学领先了 3 年。

不过，我并没能超过纳特•富特，这个红头发男孩在我不在的时候来到了我的学校。他和我都是林荫山学校 1970 届的数学天才。在七、八、九年级时，我们两个离开普通班，在鲍勃•劳勒老师的指导下学习课本以外的知识。我们学了很多代数知识。父亲从未教过我神奇的“因式分解”技巧，而纳特则从他哥哥乔治（George）那里学过。我们也学了三角函数，所以我擅长正弦函数和余弦函数。在没人看着我和纳特上数学课时，我们往往会很吵闹，我记得我还和劳勒老师就数学问题发生过争执。他告诉我 1 除以 0 是“无意义的”，而我觉得这太愚蠢，显然应该是无穷。15 岁时，我和纳特进入了一所优秀的高中——菲利普斯•埃克塞特学院。即便在 20 世纪 70 年代，学校的数学教师中也已经有了 3 位博士。第一天的第一节课教的是微积分，大部分学生都是毕业班的。在课堂里，林奇老师在黑板上认真地用极限的 ε−δ 定义告诉我们什么是函数的导数。哇！我简直大开眼界，而纳特已经从乔治那里学过了。导数看起来真的是那么回事儿，需要集中精力思考，我记得我当时想，倘若在高中学习阶段，了不起的概念都能以这样的速度呈现的话，那将会是一段相当紧张的经历。那年春天，我和纳特通过了大学预修课程“微积分 BC”的考试。

同年，我迷上了计算机，因为埃克塞特学院的电传打字机与达特茅斯的分时操作系统是连着的。一开始，我觉得人人都在用，我没必要去凑这个热闹，但几周后我试了一试，就不再这样认为了。用它来解决数学问题显然是值得探索的事情，我记得我写了一系列 BASIC 程序来打印质数 2、3、5、7……，而这些程序的效率也一个赛过一个。由于终端不够多，我经常不吃午饭去占空位，不过回想起来，我只有一天午饭和晚饭都没吃。

然后又是一个休假年，我和父母再次环游世界。特别是史蒂夫•莫勒的加入，使这段经历更加丰富多彩。莫勒是一名教师，也是普林斯顿大学的博士生。在埃克塞特学院的第一年，我和他，以及纳特在埃尔姆街食堂吃早餐的次数最多，因此我们成了朋友。莫勒先生把 33 个“世界之旅难题”整到一起，让我在旅行时解决，这些问题成了我高二那年的主题。然而，我只解决了其中的五六个问题，我觉得这是自己能力不足的表现。在莫勒先生的建议下，我还学习

了由费勒撰写的概率论经典著作的前几章，它们真是太精彩了。我们全家在去澳大利亚的途中曾在西雅图停留了 4 个月，于是我在华盛顿大学选修了一门非常呆板的线性代数课程，还选修了一门荣誉分析课程，任课老师是很善于激励学生的卡尔•艾伦多弗教授。与我同时代的比尔•盖茨当时正住在离我们大约一英里远的地方。他在湖滨学校上学，除了其他活动之外，也学着类似的高等数学，但那时我还没有听说过他。

在埃克塞特读高三的时候，我和纳特都踌躇满志。第一学期，我们用弗雷利的课本从戴维•阿诺德那里学习了抽象代数，这是我所拥有的最激动人心的数学经历。群的定义真是太美丽了！阿诺德先生让我和纳特做一个关于西罗定理的专题。在最后一个学期，我们学了一门课，这门课后来被证明对我的职业生涯很重要。我们可以选择任何一个想学的课题作为“现场研究课程”。我们选择了复分析，也就是关于由实数和虚数组成的数以及由这些数构造的函数。我们的老师叫戴维•罗宾斯，这个人非常特别，他在去美国国防分析研究所之前曾教过几年书，而我们用的课本是丘吉尔的经典著作。在这门课上，我记得我比纳特学得好，这样的感觉真好。罗宾斯老师曾在一次测验中出了这样一道题：有一只蚂蚁先移动一个单位，接着左转 30 度后又移动半个单位，然后再左转 30 度移动四分之一单位，以此类推，最后它会停在哪里？（8 年之后我又遇到了小虫！但这次它出现在复平面上，不再仅仅向前爬或向后爬，而是可以向四面八方爬。）我记得当时自己很高兴，因为我发现这是一个幂级数，而纳特没发现。不过，总地来说，我和纳特差不多都是不相上下的全才。毕业时，他的成绩全班第一，我是全班第二。我得了数学奖。尽管莫勒先生表示反对（他觉得人必须交一些新朋友），我们还是决定继续在哈佛大学做室友。

当我 18 岁时，我觉得自己毫无疑问将成为一名数学家。我记得在上哈佛大学之前的那个夏天，我开车去离莱克星顿的家几英里远的公园时，还随身带了赫斯坦的抽象代数教材，这样我就可以深入学习这门课了。但这并没有成为现实，因为我在大太阳的照射下困得不行。

许多数学家的早年经历都是这样的。我们中的大多数人发现，在一两位特殊的老师的帮助下，自己学好这门课并不需要花费多少功夫。通过这样或那样的方法，我们最终都能学会超出常规课程的知识。1973 年，我在新罕布什尔州的高中数学考试中夺得第一，并获得了有史以来的第一个满分，纳特则是第二名。但我在这之后的美国高中生数学奥林匹克竞赛中考得并不理想。总而言之，我表现很棒，但并不算出众。我也没有接受过任何校外数学培训，而许多孩子已经从这类培训中尝到了甜头，这些培训后来成了一个产业，比如暑期数学夏令营和竞赛指导班。在支持我的父母、优秀的老师，以及一位和我旗鼓相当的好朋友兼竞争对手的鼓励下，我只是对钻研数学这件事情满怀热情。

我在埃克塞特高三的那年还发生了一件有趣的事情。我抓住了进入这样一所特别学校的机会，却从未认真考虑过留在家乡莱克星顿会怎样。在那一年的全国高中数学测试中，埃克塞特在新英格兰排名第二，而莱克星顿高中排名第一！我们开玩笑说，倘若我留在家乡，那么排名可能就会发生反转。

18 岁的我没有任何理由去质疑数学的任何方面。数学是用来学习和研究的，而我是一个学生。高手们已经深耕许久，我有幸能有机会了解他们的一些发现。我也没有想到，在某一天，关于“纯数学和应用数学”的思辨会对我产生至关重要的影响。

书名：一个应用数学家的辩白

定价：39.8

ISBN：9787115612076

作者：劳埃德·尼克·特雷费森

版次：第1版

出版时间：2023-06

内容提要：

本书是数值分析家劳埃德·尼克·特雷费森教授的心得之作。除了回顾早期学习数学的成长过程，以及深耕数值分析领域的心路历程，本书还体现了特雷费森教授对数学本身的深刻思考、对纯数学和应用数学的真切感悟，以及对数学所面临的挑战的反思。本书适合对数学史、数学思想和数学教育，以及纯数学和应用数学感兴趣的所有读者。

作者简介：

Lloyd N. Trefethen 冯诺依曼奖得主，1982年在斯坦福大学获得博士学位，研究领域是数值分析与应用数学，目前是牛津大学数学研究所教授兼数值分析小组负责人。他还是美国工业与应用数学学会（SIAM）主席、英国*学会院士、美国国家工程院院士，另著有Numerical Linear Algebra、Approximation Theory and Approximation Practice、Spectral Methods in MATLAB和Spectra and Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices and Operators等书。曾到访中科院数学院开展学术交流，与中国数学界联系紧密。

目录：
中文版序
关于书名的说明
1　开场白
2　青少年时期的数学
3　菲尔兹奖：获奖者们对我的影响小得不可思议
4　哈佛大学的本科阶段：选择数值分析
5　数值分析的古怪名声
6　离散和连续
7　图灵奖：我在数学和计算机科学之间的游荡
8　纯数学与应用数学
9　五个数学领域
10　实验室数学
11　逼近论：我的早期岁月
12　逼近论：多项式和Chebfun软件
13　逼近论：有理函数
14　斯坦福大学的研究生阶段：吉恩戈卢布和塞拉屋
15　复分析与彼得亨里齐
16　复分析：复分析视频研讨会与计算方法和函数理论
17　由彼得拉克斯指导的纽约大学博士后阶段：再次遭遇纯数学和应用数学
18　实分析和偏微分方程：正则性
19　克利夫莫勒和Matlab软件
20　十位数字
21　泛函分析：白手起家的Chebfun软件
22　随机分析：数值与系数
23　*数学

传播数学，普及大众

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