正文
在萨维尼（Friedrich Carl von Savigny，1779—1861）早期关于几何学的法律技术性表达、以概念进行推理和计算的论述中，法教义学的公理体系指向已经显现，在普赫塔（Georg F. Puchta，1798—1846）的概念法学中则表现得尤其突出，乃至趋于极端化。普赫塔认为法律家无论进行理论思考还是进行实务操作，都必须按照科学原理进行纯粹的逻辑演绎，并且认为法律规范应该屈从逻辑结构的概念，为此他建构了极具特色的金字塔式“概念的谱系”。通过这种形式主义的逻辑方法，他试图让事实都符合概念的界定，从而缩减事实的复杂性，实现极其精密的概念计算；并且通过层级化的概念来以小运大、以少驭多，从而达到法律支配社会的目标，进而实现法律的确定性、明晰性以及公正性。早期的耶林（Rudolf von Jhering，1818—1892）也是概念法学的提倡者，他把法律的概念体系想象为“化学元素表”，可以按照逻辑进行排列、配对、合并以及重组，在这个意义上他认为概念具有孕育和创新的功能，可以赋予法律条文以生生不息的活力。这种立场在他的代表作《罗马法的精神》第一部和第二部里表现得非常明确，但从该书第三部（1860年代前期）开始，他进行了一个大回旋，强调概念取决于现实生活而不是相反，在法律判断之际经验比逻辑更重要。
在耶林转变学术立场的这种思路上，后来又出现了以Ph.赫克（Philipp von Heck，1858—1943）为代表的利益法学派，认为法律是互相竞争的各种利益的产物，法学的意义就在于厘清各种利益之间的关系，根据生活需要找出解决具体案件的法律规范，并据此形成社会秩序。因而在法学方法论中应该嵌入利益及其衡量的概念，这也意味着法官不能盲目地严格服从法律，司法实践的方式势必在相当程度上从概念计算转移到不同利益的评价、比较以及衡量，并且注重法律共同体的价值判断，而不限于逻辑三段论和涵摄技术。从概念计算到利益计算，也意味着逻辑法学的范围被扩展到实质性的辩证推理层面。另外，凯尔森（Hans Kelsen，1881—1973）的纯粹法学体系虽然与概念法学有类似的层级结构，呈现出以根本规范为顶点的金字塔几何学形状，但他明确否定具体规范可以按照逻辑或数学原理从根本规范演绎出来的观点，因为特别法的制定行为是一种意志表达，而不是基于推理的思考。换言之，在这里目的和手段的计算取代了概念的计算。
从基于论题目录和决疑术的概率计算发展到以公理体系和形式逻辑为前提的概念计算，上述演变导致法教义学的盛行，这种法律学的趋势固然反映了科学主义的影响，与此同时，试图直接运用自然科学（尤其是数学）的概念、符号、公式以及方法重构法律学科的各种努力也长盛不衰。早在14世纪初叶，西班牙哲学家卢勒（Raimundus Lullus，1235—1315）就构想了一种“逻辑机器”，由五个可以围绕同一轴心旋转的圆盘构成，每个圆盘包含九个基本概念或问题，通过机械操作各个圆盘得出互相交错的不同组合方式来进行自动化的推理和判断。在这里，我们可以发现根据最简朴的、具有某些神秘色彩的问题组合术尝试人机对话以及构建专家系统的雏形。从17世纪开始，在科学和技术的范式里解决法律和正义问题的尝试越来越频繁，直到19世纪还有英国功利主义哲学家边沁（Jeremy Bentham，1748—1832）认为伦理就是对幸福（效用）总量的计算，试图把数学作为道德的指针；为此他提出了测量痛苦（恶）与快乐（善）的不同指标以及幸福计算程序（felicific calculus）的设计方案，把最大多数人的最大幸福作为立法的基本原理。在这条思路的延长线上，有些心理学家（例如积极心理学之父塞利格曼）和经济学家（例如诺贝尔奖得主萨缪尔森）还在经验考察的基础上提出了幸福计算公式（happiness calculation formula）。时至今日，在福利经济学以及政策科学的效益成本分析方法中，我们仍然可以依稀看到幸福计算的影子。
二进制和计算器的发明者、17世纪德国伟大的数学家、哲学家以及法学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried W. Leibniz，1646—1716）乃视理性法律为近代科学产物的第一人，并且试图对《民法大全》以及法律学进行彻底的数学化改造和重构，使罗马法的所有内容都能够从极其简洁的基本原理中根据逻辑的传递方法推导出来。在他的法学博士论文《论组合术》中，莱布尼茨把几何学图形以及组合算数应用到法律现象，把法学理解为“一门由简单术语构成的复杂化组合技艺”。他还认为根据决疑术和论题目录进行的法律议论完全可以置于算法的监控之下，因而可以消除法律当中的不确定性。这种雄心勃勃的“新罗马法大全（Novum Corpus Juris）”革新方案可以称之为法学的“莱布尼茨公理（Leibnizian axiom）”，与200年后边沁在英国推出的法制改革宏大计划，特别是暗喻现代权力结构本质属性的全景一览式监狱建筑（Panopticon）的蓝图、万全法（Pannomion）的概念以及幸福计算器的立法学思路相映成趣。
进入20世纪后，美国在“作为科学的法学”口号鼓舞下，采取经验科学的方法研究法律现象的学术活动蔚然成风。最有影响力的法学理论家罗斯科·庞德（Roscoe Pound，1870—1964）从社会控制（social control）以及社会工程学（social engineering）的角度来理解法律的本质，创立了社会学的法理学流派。他还重视不同利益的竞争以及国家机关在比较评价的基础上进行选择，为此必须在调整社会关系的过程中实现有序化。由于实验产生了自然科学的程序性秩序，所以有些法学家也试图通过科学实验的程序来推进法律制度的合理化。例如现实主义法学的代表弗兰克（Jerome Frank，1889—1957）就认为“实验的方法在法律领域特别有用，因为法律实务就是调整人际关系和解决人际纠纷的一连串的实验或者探险”。实际上，美国联邦司法中心、州的立法机构、兰德公司都曾进行过法律方面的实验，当然这种实验的概念应该从广义来理解。正是在这样的背景下，彪特尔（Frederick K. Beutel）提出了实验主义法学体系，重点在立法领域，即对被认为在理性上、逻辑上都很健全的法案应该施行实验（例如地区对照的实验），在社会中观察其效力和效果。把科学实验方法应用于个人或群体行为及其动机的研究（例如刺激—反应式的行为实验和定量分析），就形成了法与行为科学、法心理学以及与法律有关的认知科学等专业领域；到现阶段，认知神经科学以及相关数学方法已经是人工智能开发的重要基础。
实际上，早期耶林的“法律数学（Mathematik des Rechts）”之梦也并没有破灭，德国出生的社会学家盖戈（Theodor J. Geiger，1891—1952）提出了独特的现实主义规范理论，试图建立一个可以进行符号演算的模型。在他看来，关于规范产生效力的逻辑关系不妨归纳为如下公式：
公式左边意味着状况s中的行为g对属于对立阶级A的人们具有约束力（V），作为分母的÷是包括经济基础和上层建筑在内的社会关系整体，公式右边意味着属于阶级A的成员或者在状况s中采取行为g，或者采取非g的行为而成为越轨者Ac，结果接受制裁性反应（r）。在这里，人们是按照合法与非法的两项对立方式进行选择，制裁r是通过公众Ω来进行的。根据盖戈的分析，现实中制裁r未必总是起作用，所以规范的约束力应该表示为不同程度的变量。因此，V=e/s，且e=b+（c→r）。在这里，e表示实效性的比率，s表示作为前提的状况，b是在状况s中行为g（s→g）发生的频度，c→r是非g（越轨行为
ģ
）和r出现的频度。也就是说，规范的效力就是在状况s中出现越轨行为
ģ
、或者
ģ
出现后进行制裁r的数量与状况s出现的整个频度的比值。在这里，状况s中进行越轨行为
ģ
制裁性的反应r是盖然性的，因而势必产生预测性解释。显而易见，盖戈规范学说的出发点是奥斯丁式的法律实证主义概念，并且留下了在法学思考中生搬硬套数学模型的明显痕迹。
与此形成鲜明对照的是，斯蒂芬·图尔敏（Stephen Toulmin，1922—2009）试图从法律本身的思维方法、特别是“可撤销性（defeasibility）”概念出发，把议论样式内在的逻辑关系和正当性论证机制通过符号而图式化，建立起具有普遍意义的推理演算模型。图尔敏模型的问题切入点是形式逻辑关于大前提、小前提以及结论的简单化推理结构并不能适当而充分地反映法律实践。他认为法律的理由论证其实是以某个主张及其潜在的反驳意见为前提的，在遭遇异议时主张者必须对自己的论点进行正当化，举出作为根据的事实；如果用C（claim/conclusion）来表述主张或结论，那么举证的话语就可以表述为D（data），即数据或事实资料。因此，区别C和D就是法律议论的第一步。对立的那方势必关注从D到C的证成过程，追问究竟根据什么、如何才能得出相应的结论，这时议论的要求不是追加新的事实（数据），而是要对论证过程进行正当化，即为暂定命题提供保证W（warrants）。因此，区别C和D以及W就是法律议论的第二步。图尔敏认为，在法律议论中对数据的要求是明示的，而对保证的要求是默示的；对事实正确性的数据是特指的，而对论证正确性的保证是泛指的；所以两者应加以区别——这正是在审判程序中区别事实问题与法律问题的理由所在。
从上面分析可以发现法律议论的理由论证图式比形式逻辑推理复杂得多，但仍然不止于此，图尔敏还要强调保证W对从数据D到结论C的论证过程进行正当化的程度问题，确实准确无误还是带有例外、保留、推测等限定条件。表述正当化保证的程度差异的符号是限制保证可信度的Q（qualifier 限定词乃至modal qualifier 模态限定词）与否认保证一般正当性的R（rebuttal抗辩）。在这里图尔敏又进行了两种重要的概念区别：一种是区别保证的言说与关于保证适用可能性的言说（与抗辩发挥同样的功能），这种区别不仅对法律适用，而且对自然法则的应用也具有重要意义；另一种是区别为论证而提出事实的目的，这种区别表明不同的言说也许都与某个要件事实相关，但关系样式各不相同——或者使某个推定得以正当化，或者使某个抗辩被推翻。在这里能够支撑和加强保证的正当性及权威性的言说是B（backing佐证）。根据上述分析，图尔敏描绘了一个比较复杂的论证模型：
与上述论证模型相比较，图尔敏认为形式逻辑的论证模型实际上只采取了单一的概念区别，即前提与结论的区别，导致推理具有过分的雷同性，而无法正确地推敲实际的议论；特别是三段论的大前提作为“普遍性前提”会导致话语空间变得非常贫匮。需要特别指出的是，最近30余年来，由主张或结论、要件事实、论据、证明、反驳这五个因素以及可靠性程度变量构成的这种图尔敏论证模型在法学界声誉日隆，尤其是对司法人工智能的推理算法研究产生了重要的影响。
另外，如果我们把博弈理论也应用于法律领域，不仅可以建立宏观结构的分析模型，还可以对法律原则和具体规则的效果进行数量计算，有利于在不确定的状况下进行预测和决策。例如关于交通事故的侵权责任，不同的制度设计导致利害关系的不同计算结果，会影响到相关各方的动机和行为方式，这意味着数学方法有可能对行为与结构进行塑形。根据芝加哥大学道格拉斯·G.拜尔等人在《法律的博弈分析》一书中的矩阵示例，过失责任原则、严格责任原则以及比较过失原则对司机和行人履行注意义务的程度会分别导致非常微妙的变化。中国的民事审判高度重视并广泛应用公平责任原则，在比较过失的基础上让当事人适当分担责任或损失，其结果也的确很像该书图1.5所描述的那样（下图所示）。
在这里，假设高度谨慎的成本是司机和行人都承担3元，有点谨慎的成本是1元。当双方都高度谨慎时，事故发生的概率大幅度降低，而行人承担的事故预期成本为2元。如果双方都不谨慎，每人承担50元损失。如果双方都有点谨慎，那么他们都承担50元的事故损失加上1元有点谨慎成本。如果一方不谨慎而另一方有点谨慎，那么前者承担99元的事故损失，而有点谨慎一方则只承担1元的事故责任和1元的有点谨慎成本。于是，对相关各方的激励机制变得相对化了，任何一方都很难采取显著占优的行为策略。因而司机和行人往往都倾向于采取高度谨慎的态度，这或许正是中国民法公平责任原则的宗旨所在。无论如何，在博弈理论用于法律现象分析的场合，还有法律经济学的一些微观研究成果上，我们可以看到“法律数学”构想的演进及其不同的崭新版本。
