中国古代数学只有一个关键字，你知道吗？

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盈亏术（《九章算术》，线性插值法）

方程术（《九章算术》，解线性方程组的方法，国外称高斯消去法）

割圆术（刘徽、祖冲之，用圆的内接正多边形的面积作为圆面积的近似，从而得到圆周率的近似值）

球积术（刘徽、祖暅，计算球的体积）

天元术（李冶，设未知数解方程）

大衍求一术（秦九韶、黄宗宪，解同余方程，主要结果表述为中国剩余定理）

增乘开方术（贾宪、杨辉）

正负开方术（刘益、秦九韶，英国数学家霍纳后独立发现）

四元术（朱世杰，天元术的推广，解四个未知数的方程组）

隙积术（沈括）、垛积术（杨辉、朱世杰）

招差术（王恂、郭守敬、朱世杰）

尖锥求积术（李善兰）

正如吴文俊先生所总结的：“中国古代数学，就是一部算法大全。”所以要了解中国古代数学，就要了解一些代表性的算法。以下我们选取其中几项，略为介绍。

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更相减损术

第一个例子是吴文俊先生本人举的，即求两个正整数的最大公因子的“更相减损术”。

一个典型的例子是求最大公约数，中国古代叫“更相减损术”。中国古代数学中，把最大公约数叫做“等数”，术曰： 以少减多，更相减损，求其等也 。 就这么几句话！比如说，要求24和15的最大公约数，也就是 “等数”，“更相减损术”的步骤如下：

(24,15) → (9,15) → (9,6) → (3,6) → (3,3)

因此“等数”为 3。真漂亮！

“更相减损术”来自《九章算术》，一般简称《九章》，它是中国第一部数学专著，一共有九章内容。《九章》定型不晚于公元100年，但其作者不可考，后世流行的版本是经三国时期数学家刘徽加工之后的《九章算术注》（公元263年出版）。刘徽在《九章算术注》中曾明确指出，“更相减损术”的原理在于：在运算过程中，整数逐步减小，但其等数却始终保持不变。顺便提一句，《九章》中主要是利用“更相减损术”来约分，所以它完全包含在“约分术”中： “副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 就是求出分子、分母的最大公因子（等数），然后分子分母同除以最大公因子。

刘徽 《九章算术注》

在现代教科书中，通常用 “辗转相除法” （也称为欧几里得算法）来求两个正整数的最大公因子。它是“更相减损术”的一个变体，其基础是所谓的带余除法。

带余除法定理：设a和b 是两个整数，其中b>0 ，则存在唯一的整数q和r使得

a=qb+r，（其中r满足0≤r

定理中的q称为a除以b的商，可以用下述性质刻画： qb 是 b 的所有的倍数中不超过a最大的一个；r称为a除以b的余数，由r=a-qb确定。带余除法名称的由来，在于等式右边有余数r。当余数r＝0时，称b整除a，而且b就是a,b的最大公因子。

我们不拟介绍欧几里得算法，是因为在解决另一个与求最大公因子问题关系非常密切的问题时，中国古代的数学家本质上也创造了同样的算法，只不过它换了一个名字，叫“求一术”。

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大衍求一术

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