黎曼论弯曲空间的经典演讲

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虽然黎曼对演讲有恐惧症，然而他并未让他的指导教授失望。他利用此机会发展出一个更高维的极度原创理论，在1854 年6 月10 日的演说“论几何基础上的假说”中，他描述包含如何测定空间曲率的可行定义。此演说在1866 年他去世后两年才发表出来，现在被视为几何学上最重要的研究成果之一。

黎曼的演说包括两个部分，第一、我们如何定义一个n 维空间，产生黎曼空间和黎曼张量的定义，这奠定了黎曼几何领域的基础。第二、黎曼讨论真实空间的维度，以及该用什么几何来加以描述。

黎曼的演说轰动成功，虽然他的观念太高深，只有高斯能完全领会其深奥。毕竟高斯在他学术生涯中曾研究过二维表面的理论，所以能精确地以数学来评量曲率。高斯以前便曾思考推想空间的可能曲率，他于1824 年给施维卡特（F. Schweikart）的一封信中坦言说：“我不时会开玩笑地表示，希望欧几里得几何是不正确的。”

高斯证明说，在二维空间中，需要单一数值来说明附近一点的曲率（高斯曲率），黎曼将此概念延伸到任何维度的空间，证明需要6 个数值来描述三维空间任一点的曲率（黎曼度量），四维空间则需20 个数值。黎曼曲率张量则只是空间任一点描述其曲率数值的总和。

黎曼继续在其它领域例如分析、数论，以及复数流形理论等方面作出宝贵的贡献。虽然哥廷根大学于1857 年聘任他为带薪教授，但他的师长努力为他在哥廷根争取讲座职位，皆未能成功。那一年他发表Abel函数的研究论文，以接续他的博士论文，并进一步延伸他在黎曼曲面的拓扑性质的概念。他终于在1859 年获聘为哥廷根大学数学系的讲座教授，并被选入柏林科学院。1862 年，他和妹妹的朋友结婚，生了一个女儿。

然而，他在生活和职业方面的幸福快乐皆很短暂。黎曼的身体一向不好，结婚后那年他罹患重感冒，导致肺结核。那年冬天，他到温暖的西西里岛避寒，但却没完全康复。因为健康恶化，后来几年他来回于哥廷根和意大利，于1866 年7 月20 日病逝，享年39 岁，当时他正在意大利有名的马焦雷湖边调养身子。有人猜测，他的管家在他死后整理他的办公室时，很可能丢弃了几份未发表的研究。

黎曼在数学和物理方面的影响力一直未减，爱因斯坦后来观察黎曼的研究后说：“物理学家的思考方式仍和他很不一样。”

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