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黎曼论弯曲空间的经典演讲

算法与数学之美  · 公众号  · 算法  · 2017-09-02 22:22

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虽然黎曼对演讲有恐惧症,然而他并未让他的指导教授失望。他利用此机会发展出一个更高维的极度原创理论,在1854 年6 月10 日的演说“论几何基础上的假说”中,他描述包含如何测定空间曲率的可行定义。此演说在1866 年他去世后两年才发表出来,现在被视为几何学上最重要的研究成果之一。


黎曼的演说包括两个部分,第一、我们如何定义一个n 维空间,产生黎曼空间和黎曼张量的定义,这奠定了黎曼几何领域的基础。第二、黎曼讨论真实空间的维度,以及该用什么几何来加以描述。


黎曼的演说轰动成功,虽然他的观念太高深,只有高斯能完全领会其深奥。毕竟高斯在他学术生涯中曾研究过二维表面的理论,所以能精确地以数学来评量曲率。高斯以前便曾思考推想空间的可能曲率,他于1824 年给施维卡特(F. Schweikart)的一封信中坦言说:“我不时会开玩笑地表示,希望欧几里得几何是不正确的。”


高斯证明说,在二维空间中,需要单一数值来说明附近一点的曲率(高斯曲率),黎曼将此概念延伸到任何维度的空间,证明需要6 个数值来描述三维空间任一点的曲率(黎曼度量),四维空间则需20 个数值。黎曼曲率张量则只是空间任一点描述其曲率数值的总和。


黎曼继续在其它领域例如分析、数论,以及复数流形理论等方面作出宝贵的贡献。虽然哥廷根大学于1857 年聘任他为带薪教授,但他的师长努力为他在哥廷根争取讲座职位,皆未能成功。那一年他发表Abel函数的研究论文,以接续他的博士论文,并进一步延伸他在黎曼曲面的拓扑性质的概念。他终于在1859 年获聘为哥廷根大学数学系的讲座教授,并被选入柏林科学院。1862 年,他和妹妹的朋友结婚,生了一个女儿。


然而,他在生活和职业方面的幸福快乐皆很短暂。黎曼的身体一向不好,结婚后那年他罹患重感冒,导致肺结核。那年冬天,他到温暖的西西里岛避寒,但却没完全康复。因为健康恶化,后来几年他来回于哥廷根和意大利,于1866 年7 月20 日病逝,享年39 岁,当时他正在意大利有名的马焦雷湖边调养身子。有人猜测,他的管家在他死后整理他的办公室时,很可能丢弃了几份未发表的研究。


黎曼在数学和物理方面的影响力一直未减,爱因斯坦后来观察黎曼的研究后说:“物理学家的思考方式仍和他很不一样。”








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