北京航空航天大学黄勇教授/朱克勇副教授：辐射传输的格子玻尔兹曼方法研究进展

参与性介质内辐射传输普遍存在于自然界和工程应用中，如太阳光在大气中的传播、燃烧过程、遥感探测等。辐射能量在介质内的传输过程由辐射传输方程描述，辐射传输方程有标量和矢量两种形式。热辐射传输即辐射传热通常不考虑辐射光线的偏振效应，由标量辐射传输方程描述；偏振辐射传输由矢量辐射传输方程描述。尽管科研人员已经发展了多种求解辐射传输的数值方法， 然而许多科学和工程领域涉及的辐射传输问题，如与导热对流的耦合传热问题、三维大气偏振辐射传输问题等，促使国内外学者致力于探索新的简单、精准高效、耦合性好的辐射传输求解方法。格子玻尔兹曼方法(Lattice Boltzmann Method, LBM)是一种实现简单、并行效率高的介观数值模拟方法，已在计算流体力学领域得到了充分发展及广泛应用，并被推广到许多领域，如波传播、对流扩散、反应扩散等。近十几年以来，将LBM推广到求解辐射传输问题获得了广泛关注，然而相关问题的格子玻尔兹曼(LB)模型还不成熟，存在理论不完善和应用限制等问题。因此，发展针对辐射传输问题的适应性良好的LB模型既有重要的基础理论意义，又具有广泛的应用价值。

北京航空航天大学黄勇教授、朱克勇副教授课题组针对热辐射和偏振辐射传输分别构建了对应的LB模型，利用 Chapman-Enskog（CE）展开和 Maxwell迭代从对应的LB模型严格地推导出辐射传输方程，相关结果发表于International Journal of Heat and Mass Transfer、Journal of Computational Physics、Physical Review Research、Astronomical Journal、 Optica等期刊。

1．单松弛与多松弛LB模型

发展了求解均匀介质内热辐射传输的单松弛LB模型，构建了求解均匀介质内热辐射传输的多松弛LB模型（图1）。理论推导表明两种模型均具有二阶精度和收敛速率，数值实验结果印证了理论分析（图2）。多松弛模型在精度和稳定性上优于单松弛模型，效率上略低于单松弛模型。数值结果表明LB模型可以精准地求解瞬态和稳态热辐射传输过程，效率与求解离散偏微分方程的方法(如无网格法、有限元法、有限体积法)相当，均优于蒙特卡洛法（表1）。此外，还构建了求解梯度折射率介质内热辐射传输的LB模型。

图1 均匀介质内热辐射传输的单松弛与多松弛LB模型

图2 单松弛与多松弛LB模型的二阶精度数值结果

表1 以一维瞬态问题为例，LBM和反向蒙特卡洛法(RMC)计算时间对比

2、求解参与性介质内辐射-导热问题的耦合LB模型

构建了求解参与性介质内辐射-导热问题的耦合LB模型，导热微分方程和辐射传输方程可以在统一LB框架下进行耦合求解。数值验证表明，在求解一维到多维均匀折射率介质内的瞬态和稳态热传输问题时，耦合模型均具有良好的准确性（图3）。在此基础上，模型被进一步推广至梯度折射率介质内的辐射-导热耦合问题。数值验证表明其在求解一维梯度折射率介质中的耦合热传输问题时同样适用，并且能够以简洁的格式直接拓展至梯度折射率介质内的多维问题。在对二维梯度折射率介质的研究中，观察到由折射率梯度分布所引起的稳态温度场的强非对称性（图4），并进一步研究了散射对其影响，结果表明随着散射反照率的增大，温度场的非对称性逐渐削弱。

图3 纯吸收、无散射一维均匀折射率介质内的稳态热流密度(a)与瞬态温度场响应(b)

图4 由折射率梯度引起的稳态温度场的强非对称性 (a)折射率分布, (b)温度场

3．求解一维偏振辐射传输的LB模型

构建了求解一维偏振辐射传输的LB模型（图5）。Stokes矢量可由矢量LB方程执行简单的碰撞迁徙过程得到。通过对一维Rayleigh和Mie散射介质内偏振辐射传输进行计算，验证了LB模型的正确性，LB模型能够准确地处理含有不同散射介质的参与性介质内一维偏振辐射传输，并且具有二阶精度。随后，将发展的一维偏振辐射传输的LB模型应用到计算行星大气的反射偏振光上，系统地研究了来自具有Rayleigh散射性质的行星大气的反射偏振光。对于有限厚度和半无限厚度、保守形式和非保守形式下的Rayleigh散射大气，Stokes参数和偏振度的行星盘积分的偏振相曲线的LB结果与文献中基准解显示出良好的一致性（图6，图7）。对于半无限厚度的保守形式和非保守形式的Rayleigh散射大气，球形与几何反照率的LB结果与Madhusudhan和Burrows 获得的解析拟合结果相比，精度在3%以内（图7）。LB框架的计算效率明显优于文献中的蒙特卡洛框架，并且避免了在倍增法和矢量离散坐标法中的傅里叶系数展开和复杂的矩阵运算，在计算上具有一定的简洁性。

图5 一维偏振辐射传输的LB模型

图6 有限光学厚度下，不同总光学厚度、散射反照率和Lambert底部反射率的归一化辐射强度I、归一化平行偏振量Q和偏振度的行星盘积分相曲线

图7 半无限厚度Rayleigh大气在不同散射反照率下的偏振度的行星盘积分相曲线、球形和几何反照率

4．多维偏振辐射传输的LB模型

一维偏振辐射传输模型忽略了水平辐射传输，不能有效地考虑多维偏振辐射传输。因此，需要发展多维偏振辐射传输模型，尤其是三维偏振辐射传输模型。偏振辐射传输模拟依赖于求解矢量辐射传输方程(VRTE)，而多维矢量辐射传输方程(VRTE)的数值求解是一项复杂的工作。课题组建立了多维偏振辐射传输的LB模型（图8），对于多维VRTE和Stokes矢量，分别建立了矢量LB方程和矢量平衡分布函数。通过CE展开，从LB模型严格地推导得出多维VRTE。通过二维和三维算例，对所提出的多维偏振辐射传输的LB模型进行了验证，数值结果表明LB模型能够准确地模拟参与性介质内多维偏振辐射传输过程。由于LB模型的介观属性，其可以通过执行碰撞迁徙过程实现多维偏振辐射传输的简单模拟，同时避免了求解离散偏微分方程方法复杂的矩阵运算和统计方法中大量的光线追踪工作。此外，将发展的LB模型用于研究介质散射反照率和界面反照率在三维偏振辐射传输中对辐射强度和偏振度的影响（图9）。发现在多维偏振辐射传输中，多重散射增强了辐射强度，但在几乎整个角度域抑制了偏振度。

图8 多维偏振辐射传输的LB模型

图9 三维偏振辐射传输中多重散射对辐射强度和偏振度的影响，以平行光入射三维介质为例，A和B点是两个出射观察点：(a) 给定观察方向下两观察点辐射强度和偏振度随散射反照率的变化；(b) 两观察点半球空间反射光的辐射强度最大值和偏振度峰值随散射反照率的变化；(c) 给定观察方向下两观察点辐射强度和偏振度随底部反照率的变化；(d) 两观察点半球空间反射光的辐射强度最大值和偏振度峰值随底部反照率的变化

上述研究对参与性介质内热辐射传输与偏振辐射传输进行了系统的格子玻尔兹曼建模及分析研究。标量LB模型为建立统一的LB框架求解导热、对流和热辐射的耦合传热问题提供了便利，矢量LB模型为计算大气遥感、目标探测、生物诊断等涉及的偏振辐射传输提供了的简单高效的介观方法。

[1] Liu XC, Huang Y*, Wang CH, Zhu KY. Solving steady and transient radiative transfer problems with strong inhomogeneity via a lattice Boltzmann method. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2020, 155: 119714.

[2] Liu XC, Huang Y*, Wang CH, Zhu KY. A multiple-relaxation-time lattice Boltzmann model for radiative transfer equation. Journal of Computational Physics, 2021, 429: 110007.

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[6] Liu XC, Wu HH, Zhu KY*, Huang Y*. Lattice Boltzmann model for multidimensional polarized radiative transfer: theory and application. Optica, 2021, 8(9): 1136-1145.

刘晓川，北京航空航天大学航空科学与工程学院博士，导师为王浚院士和黄勇教授，现为北京航空航天大学航空科学与工程学院卓越百人博士后，主要从事辐射传热领域研究，已发表SCI论文16篇，曾获北航校优秀博士论文奖、航空制造特等奖学金、北京市优秀毕业生等荣誉。

朱克勇，北京航空航天大学航空科学与工程学院副教授，博士生导师，主要研究方向为热辐射传输与辐射换热，飞行器环境控制及环境模拟。近年来，主持国家自然科学基金面上项目和青年项目、航空科学基金等多项课题的研究工作，发表SCI论文40多篇。作为主要负责人参与完成多项大型工程项目，获得省部级科技进步一等奖2项（其中1项排名第2）。2019年入选北京航空航天大学第八批青年拔尖人才支持计划。

黄勇，北京航空航天大学航空科学与工程学院教授，博士生导师，主要研究方向为辐射传热、热与流动新技术、特殊及复杂环境的模拟技术。承担国家自然科学基金等各类基金及航空航天等工业部门的多项课题研究，发表论文100余篇，其中SCI检索70余篇；授权发明专利10余项；获得部级科技奖励3项。

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