一、哥德尔的观点
哥德尔不完全性定理是20世纪现代逻辑中最著名的定理之一，它不仅深刻改变了数学基础，更影响到哲学、计算机科学等其他领域。哥德尔第一不完全性定理为：任何含有一定量初等算术的形式系统S，如果是一致的(consistent)，那么存在一个算术语句G，使得G和┐G在S中都不可证；哥德尔第二不完全性定理为：对这样的形式系统S，如果是一致的，那么S的一致性在S中不能证明。
许多人将不完全性定理应用到心灵哲学，其中最引人注目的争论莫过于“人心是否胜过计算机?”在这一持久的争论中，许多逻辑学家、哲学家和科学家纷纷加入进来。1961年，哲学家卢卡斯(Lucas)首先发表了《心、机器、哥德尔》，他论证哥德尔定理表明心灵不是一台计算机(图灵机)。随后，物理学家彭罗斯(Penrose)在1989年的《皇帝新脑》和1994年的《心灵之影》(Shadows of the mind)中提出了哥德尔式的论证，同样阐明了其反机械论的立场。卢卡斯和彭罗斯的观点引起了激烈的大讨论，众多的反对意见不断出现。但事实上，一些反对者并未认真理解卢卡斯和彭罗斯的论证就轻率地提出质疑。而对另外一些有深刻价值的质疑，卢卡斯和彭罗斯也做出了回应和辩护，并一直延续到今天。现在人们把他们影响深远的观点统称为卢卡斯-彭罗斯论证。由于国内很多文献只主要涉及了国外最初对卢卡斯-彭罗斯论证的反驳，而并未探讨他们后来的回应，因此有必要对该论证的来龙去脉做一澄清和辨析。
哥德尔本人对心灵和机器的关系也有自己的观点，他在1951年吉布斯演讲的第一部分中强调了如下的二分法(dichotomy)：“或者人心(甚至在纯数学领域)无限地超越任何有穷机器的能力，或者存在绝对不可解的丢番图问题。”这里的丢番图问题是指初等数论中真值将要被确定的命题，哥德尔证明了一个形式系统的一致性就可以等价于一个丢番图问题。这里的有穷机器是指图灵机，而图灵机又可以等价于形式系统，因为一个形式系统的所有定理集合恰好可以由一台图灵机递归枚举出来。于是哥德尔二分法可以有如下解释：如果人心等价于一个形式系统S，那么那么存在为真且永远不能被人心证明的陈述，即S是一致的形式表达Cons(S)；如果不然，那么对每个一致的形式系统S，存在人心可证而在S中不可证的陈述。该论证默认了人心是一致的，否则它等价于一个能够证明所有陈述的形式系统。
需要指出的是，虽然哥德尔谨慎地阐述了二分法的第二析取支有可能成立，但是现在有很多在吉布斯演讲以外的证据表明，哥德尔其实是相信反机械论者的主张的，如同在二分法第一析取支所表达的那样，即心灵胜过机器。例如，在哥德尔与王浩关于心灵和机器的非正式交流中，就多次体现了这一点。那么为什么哥德尔在吉布斯演讲中不直接阐明，而采用了更小心的二分法呢?原因就在于他还没有无懈可击的证据来证明机械论者是错误的。虽然由于哥德尔定理的发现，在数学上没有证据支持机械论，但随着物理化学和大脑生理学的不断进步，不排除数学以外的经验科学有可能提供这样的证据。因此哥德尔所担心的是机械论者经验主义的辩护。[1]209-212
二、卢卡斯的论证与分析
哲学家卢卡斯的论证可以概括如下：考虑一台建造好的候选机器，恰好产生人心能够证明为真的数学语句，该机器又对应于一个形式系统，即它输出的断言就相当于形式系统的定理。现在我们对该形式系统构建一个哥德尔语句，因为哥德尔语句不能在系统中证明，所以这个机器也不能产生哥德尔语句作为算术真。但是人却可以看出这个语句为真，换句话说，存在至少一件事人心可做而机器不能做。因此人心不是机器。[2]
普特南(Putnam)等许多反对者首先就质疑卢卡斯的一个前提，即必须知道人心是一致的。假如人心是不一致的，那么机械论者完全可以声称人心是一台图灵机且对应于不一致的形式系统。此时卢卡斯论证就失效了，因为不一致的系统能证明任何断言，该机器也就同样能够证明哥德尔语句。类似地，假如不知道人心是一致的，也就无法确定卢卡斯的结论成立与否。然而事实上，对这个问题反对者们并未仔细去理解卢卡斯的论证，卢卡斯早在最初的原文中就已考虑了这种反对意见，并且后来又多次做出了回应。卢卡斯认为，人具有自我意识，也是会反思的。虽然人有的时候是不一致，但这并不意味着我们等价于不一致的系统，因为人的不一致是一种过失而不是固定的策略。当我们觉察到自己的某处不一致后，我们通常都会去除它。反之，如果人真的是不一致的机器，那么我们应该保持满足于自身的不一致，并且乐意肯定矛盾命题，而且我们会潜在地认可任何命题，因为从矛盾可以推出任何命题。但实际上显然不是这样，比如人们不会认为今天太阳从西边升起，因此本质上，人是可能犯错的但却不会是不一致的。[3]总之，卢卡斯断言，我们知道任何合理表示心灵的图灵机必须是一致的。
贝纳塞纳夫(Benacerraf)等机械论者进一步提出质疑。如果造出了一台机器S可以达到心灵的水准，但由于它太过复杂，无法提供完全的细节描述，人心就不知道这台机器是否是一致的，因此人心同样也不能看出其哥德尔语句G为真。因为哥德尔定理只是说如果S是一致的，那么G是真的，即Cons(S)→G。这时卢卡斯不能由“我知道(Cons(S)→G)”错误地推导出“Cons(S)→我知道G”，而机器也知道(Cons(S)→G)，所以人心并未超越机器。卢卡斯同样做出了回应，首先他巧妙地将问题的重担抛回给了机械论者，认为只有详细的描述被给出，才符合机械论自身的要求。这是机械论者的责任说明它的机器是否一致，机器的一致性不是由心灵的数学能力建立的，而是由机械论者所决定。如果机械论者无法回答他的机器是否一致，那就是他的前期工作还不合格。对机械论者这种只提供一个黑箱而回避问题的方法，卢卡斯反问道，如果不能提供其内部细节，我怎么知道黑箱里面是一台机器而不是藏着一个人呢。卢卡斯还指出虽然不能在某个系统内部证明该系统的一致性，但存在其他的方法可以知道形式系统是否一致。当可以证明定理0=1时，系统就是不一致的。同样对命题逻辑和一阶谓词逻辑的一致性也已经有有穷的证明方法，尤其甘岑用超限归纳法证明了PA的一致性。所以我们可以在系统外和更宽泛的条件下证明系统的一致性。然后，卢卡斯对机械论者提出了测试方法，不仅可以合理地问机械论者他的机器的详细描述是什么，更可以问他的机器是否一致。如果机械论者回答不是，那么该机器就没有通过卢卡斯的测试，因为它会证明所有命题，所以不是心灵的合理表示。如果机械论者声称是，那么该机器就可以进入下一轮测试，但这时机器不能够证明它的哥德尔语句，而我们已经知道它是一致的了，所以可以知道哥德尔语句为真。卢卡斯对机械论者提出了一种两难困境，无论机械论者声称他的机器是否一致，都推导出该机器不等价于心灵。[4]
弗兰岑(Franzén)对此又提出了质疑，他认为卢卡斯的这个评述有点奇怪，因为机械论者声称他的机器是一致的并不能保证人能够证明或者知道这个机器是一致的，最多只能使人相信他而已。[5]118在笔者看来，弗兰岑的质疑虽然有道理，但并未完全理解卢卡斯的本意。因为卢卡斯的目的是要驳倒而不是相信机械论者的立场，即心灵可以由某台机器表示。机器的一致性应该由它的建造者来确定，如果机械论者声称他的机器是一致的，却又不能证明它，或者结果证明了却是不一致的，那就一定程度上已经宣告了机械论的失败。
除了一致性这个重要的问题外，还有许多反对者从哥德尔语句的构造、理想化心灵与机器的假设、心灵的局限性等各个方面对卢卡斯的论证提出了质疑，但卢卡斯后来都一一给出了回应。
三、彭罗斯的新论证与分析
卢卡斯的论证使用了哥德尔第一不完全性定理，物理学家彭罗斯后来则使用了哥德尔第二不完全性定理同样论证心灵不是可计算的(这里的可计算也是指图灵机可计算)。彭罗斯的新论证采用了半形式化的方法，更为精确和严谨。为了论述的方便，我们先还是采用弗兰岑整理过的彭罗斯论证。首先假设某个健全的(sound)形式系统F完全捕获了人的数学推理能力，陈述I AM F即表示人的数学能力等价于F，这里的数学能力是指理想而正确的数学能力。
(1)如果IAMF，那么F+IAMF是一致的。
(2)我能证明(或知道)，如果IAMF，那么F+IAMF是一致的。
(3)如果IAMF，那么，对任意A，如果我能证明A，F就能证明A。
(4)如果IAMF，那么F能证明，如果IAMF，那么F+IAMF是一致的(由(2)和(3)得到)。
(5)如果IAMF，那么F+IAMF能够证明F+IAMF是一致的(由(4)和逻辑规则得到)。
(6)如果IAMF，那么F+IAMF是不一致的(由哥德尔第二不完全性定理得到)。
(7)因此，IAMF不可能成立(由(1)、(6)和逻辑规则得到)。[5]120
国内有观点对(2)的合理性提出了质疑，由于上述经弗兰岑整理过后的彭罗斯论证简化了许多彭罗斯默认的前提，因此有必要考察彭罗斯的原文，进行更细致的分析和讨论。彭罗斯在原文中有如下论述，“虽然我不知道我必然地是F(即IAMF)，但我能断定，如果我是F，那么F必定是健全的，更重要的是F'(即F+IAMF)也必定是健全的”[6]。那么彭罗斯这样断定(2)的成立又根据什么理由呢，原来彭罗斯在此与前述的卢卡斯论证有相似的特点，即接受另一个较为合理的前提：(1’)我能证明(或者知道)我是健全的[3](这里健全的我是指理想的人类数学家)。然后我们继续推导，(2’)我能证明，如果IAMF并且我是健全的，那么F是健全的。(3’)我能证明，如果IAMF，那么F是健全的(由(1’)、(2’)和逻辑规则得到)。最后，由(3’)就能够得到前面的(2)，因为健全的系统加上真公理仍然健全的，也就是一致的。
此外，笔者认为，这里我们其实可以另外接受一个更弱化和合理的前提，同样能够论证彭罗斯的结论。论证如下，(1’’)我能证明，如果IAMF，那么我是健全的。因为健全性一般是关于形式系统的概念，在假设“我”等价于某个形式系统F的前提下，再说我是健全的才显得更自然和严格。(2’’)我能证明，如果IAMF，那么，如果我是健全的那么F是健全的(由(2’)做逻辑变换得到)。然后再由(1’’)、(2’’)和逻辑规则变换可以得到：(3’)我能证明，如果IAMF，那么F是健全的。于是就得到(2)我能证明，如果IAMF，那么F+IAMF是一致的，这样最后也能推导出彭罗斯的论证。
有查尔莫斯(Chalmers)等反对者进一步质疑彭罗斯论证的前提，即我们知道我们是健全的。他们认为，至少存在可能性数学家的推理是不健全的，因此我们不能明确地知道数学家是健全的。如数学史上对四色定理的一个错误证明曾被认为解决了这个猜想，直到11年后才被否定，那么在这期间许多有能力的数学家都是不健全的。与卢卡斯一样，彭罗斯也做出了回应，首先要区分数学家有时犯的个别可纠正的错误与数学家们都知道为不容置疑(unassailable)的真理。虽然数学家是可能犯错的，但因为这些错误能够与不容置疑的真理区别开来，并且是可以纠正的，所以对不容置疑的真理来说，数学家仍然是健全的。其次，彭罗斯指出，上述论证中的“我”是理想的数学家，考虑的也正是理想的数学概念和证明。这些正确性的理想正是数学学科的本质特征，它使得去除错误的证明具有客观性。[7]351
弗兰岑等人所质疑的是能否构造出IAMF这个语句，并要使得它在形式系统中。彭罗斯则认为，如果假定我们通常的数学理解过程能够被还原成计算(即存在F)，那么由假设“我是F”再加上F本身所一起能够确立的数学语句族，将的确是可计算产生的语句族，因此也就会是某个形式系统F'的定理。
最后，针对这些质疑，彭罗斯还提出了弱化形式的论证。假设能够使用基于计算机的人工智能程序M，实际上建造出来一类具备数学理解力的机器人。通过类似于原来的论证(但不需要那么强的条件)，却可以得出这些机器人必须拒斥，M实际上是建造他们的基础。于是可以得到这样一个结论，任何具备真正数学理解力的存在者，都不可能根据他们能够领会并认可的计算程序来运作。由于计算的人工智能程序对人类来说是可知的，那么就有足够的理由怀疑，计算的人工智能程序可以提供像人一样具有数学理解力的机器人。[7]350彭罗斯相信这个论证本质上是正确的。
四、费弗曼的论证
逻辑学家和数学家费弗曼(Feferman)也加入了这场论战。费弗曼首先指出了彭罗斯论证的一些技术细节的疏忽，尤其包括健全性和一致性的模糊性，但费弗曼也指出即使把这些疏忽都纠正过来，也并不影响彭罗斯本人关于心灵和机器的论证结论。费弗曼同样反对数学思考是图灵可计算的，他在这一点上赞同彭罗斯的观点，即理解力是数学思考的本质，正是这个领域是机器无法与我们共享的。[8]对于一台图灵机来说，给出一个问题，便运用某种算法寄希望找到答案。而人的数学活动显然不是这样，试错法的推理、洞察力、灵感等都是源于先前的经验而不是基于一般的规则，这些才导致了数学的成功。因此，人的数学思考不可能通过某种算法的机械应用来实现。即使这样，费弗曼认为，卢卡斯-彭罗斯论证难以驳倒机械论者的经验主义辩护，即随着生物等经验科学的发展有可能证明心灵等价于机器，正如同哥德尔所顾虑的那样。
为了调和机械论者和反机械论者的观点，费弗曼给出了自己的新见解，首先不能混淆数学心灵是如何运作的与数学心灵能够证明的全部。如同在自然语言中的学习一样，我们关心的是语言上正确表达的产生方式，而不是这些表达的潜在全体。假如人们要考虑任何机械论者立场的理想化表述，那么心灵就应该受到某个形式系统的公理和推理规则的制约。由于在遵循这些公理和规则时，心灵在每一步骤是要做选择的，所以数学心灵最多等价于一台非确定图灵机的程序，而不是它的可枚举陈述的集合。但是目前还没有任何形式系统，如我们熟悉的一阶算术PA系统和公理化集合论ZF系统，可以设想构成数学思考的基础。费弗曼认为造成这种状况的原因是，我们目前形式系统的语言都是固定的，一旦给出便不再变化，像PA系统和ZF系统都是如此。这就使得系统中的公理模式，如PA中的数学归纳公理和ZF中的分离公理，都必须是由该语言中公式的代入实例所组成。预先限制数学讨论在固定的语言上并不符合数学实践。于是费弗曼给出了一种改进的形式系统概念，使得实践的开放性得以允许但同时也受到基础规则的支配，并称之为开放模式的公理系统。这种系统的公理模式虽是有穷个的，但系统的语言却是开放的，即系统的基本词汇可以扩充到任意宽泛的概念背景，而且它的公理可以应用其上。换句话说，接受了给出的公理模式就接受了任意可能的有意义的代入实例，而这些代入实例不预先限制在明确的固定语言上。这就类似于纯逻辑中分离规则等对任意的命题都成立一样。[1]215-217
然后以此为基础，费弗曼提出了修正的机械论者的论题，心灵的数学能力是机械的，因为它完全受到某个开放模式的形式系统的约束。对于数学语言为何要是开放的，他认为主要有三点原因。首先，虽然有人认为几乎所有的数学概念都是在公理化集合论的语言中可定义的，但事实并非如此，如范畴、节点、随机变量等概念。其次塔斯基定理表明，对语言L的真概念T在语言L内部是不可定义的。最后，从历史的角度也证明，随着数学的发展，尽管一些形式上的模式依然有效，但数学概念和语言是不断进步和扩展的。至于数学实践要被推理模式制约也并不令人惊讶，正如同人的身体活动也要被自然定律制约一样。这个修正的论题可以跨越机械论和反机械论的鸿沟，一方面有有穷多个数学推理的模式需要遵循，这构成了机械论的视角；另一方面，开放的数学语言与概念又构成了反机械论的视角。费弗曼认为，虽然哥德尔定理并不能够直接推翻通常的机械论，但从数学实践的角度看，通常的机械论几乎不可能成立。而他相信修正的机械论是正确的，但只限于人心的数学能力，而不包含整个心灵。[9]
五、我们的论证
通过前面的论述，可以看到由哥德尔不完全性定理并不能够直接得出人心胜过机器，也就是说卢卡斯-彭罗斯论证还必须加上一些理想化的假设，包括哲学上的假设。不同的反对者针对不同的具体问题提出了自己的质疑，但有趣的现象是，一个反对者所质疑的地方却有可能是其他反对者所默认接受的，这就使得卢卡斯-彭罗斯论证还是具备一定合理性的。其中最突出的前提莫过于知道我们是一致的(系统对Π[，1]语句的健全性就等价于系统的一致性)，卢卡斯和彭罗斯都从不同角度做出了辩护，需要提及的是，逻辑学家王浩(Hao Wang)在这一点上也承认只有一致的机器才可能合理地表示心灵。另一个重要的假设是，这里考虑的都是理想的人心和理想的图灵机。因为单个的人都是会死的，数学能力也是有穷的，就有可能用一台机器来模拟。所以我们讨论的是个人在原则上能够做而不是实际上所做。
由于一台图灵机就等价于一个形式系统，我们将在费弗曼论证和卢卡斯-彭罗斯论证的基础上，从开放形式系统的角度提出自己的论证。为了更加确切，需要说明一些论证的前提，和卢卡斯、彭罗斯与费弗曼一样，我们考虑的都仅仅是人心的数学能力；另外从哲学上不接受整个宇宙是图灵可计算的。首先费弗曼论证的进路无疑更加合理，即人心的数学能力并不等价于一个通常的形式系统，而用开放模式的形式系统表示心灵则比前者更能让人接受。但费弗曼的论证还并非完善，因为他的开放模式形式系统的语言虽然可以任意扩充，但公理模式只是有穷多个，并没有指明是否需要不断添加新的公理和改变公理。费弗曼自己也认为，开放模式的公理系统的提出只是一个新进路和起点，值得进一步思考和研究。
我们需要指出的是，事实上如果公理模式不变，而任意扩充其形式语言的话是可能导致不一致的系统。比如，在费弗曼研究的基于一阶算术PA系统的公理化真理论中，形式系统TB有公理模式T-语句，它的代入实例是限制在一阶算术PA的语言，如果任意扩充到含有真谓词符号的语言上，那么由于说谎者语句将导致不一致的系统。此外，从数学发展的历史来看，除了语言在扩充，一些公理同样做出了变化，如从欧式几何到非欧几何，欧式并行公理可以被完全与它相矛盾的公理取代。而且由集合论ZF扩充到非良基集合论ZFA，讨论的数学对象由良基集合变为含有非良基的集合，这时基础公理就要被放弃，替换为其否定的反基础公理。还有在数学基础中颇具争议的选择公理，数学家如果不使用或者限制使用这条公理，那么将会排除许多在现存数学中被认为是基础的东西，如在抽象代数、拓扑学、现代分析中的某些基础性定理需要依赖于选择公理才能得到证明。但如果完全接受选择公理，又会得到违反直觉的结论，如著名的巴拿赫-塔斯基悖论。目前的数学家在使用选择公理时就面临着多种选择。可见在数学的历史发展实践中，对公理的选择和使用也是有条件的。虽然在纯逻辑中公理模式可以被认为是确定和有穷的，但是我们讨论的是包含各个新出现分支的整个数学领域，许多证据已表明在数学实践中，不仅讨论的语言在扩展，而且公理模式也在不断地增加和修改，甚至可以根据数学家的需要取舍，来建立不同的理论。
因此，我们在费弗曼论证的基础上提出一种完全开放的数学形式系统，即它的语言和公理模式都是可扩充和修正的，只有这样的形式系统才有可能合理地表示心灵。这种新的形式系统也仍然带有一些机械论的特征，虽然它是完全开放的，但人心所能够证明的数学定理还是受到该新形式系统的公理模式与规则的制约。例如，在数学基础公理化集合论中，由于哥德尔证明了ZFC系统与连续统假设是协调的，而数学家柯恩又证明了ZFC系统与连续统假设是独立的。那么，类似平行公理在几何学中的地位，既存在连续统假设成立的“康托儿集合论”，还存在各种连续统假设不成立的“非康托儿集合论”。我们进一步提出一个重要的问题，由什么来决定扩充开放系统的语言和公理模式以及具体如何扩充?这时假如再考虑卢卡斯-彭罗斯论证，问题就比较好回答了。彭罗斯和卢卡斯都认为人心的数学能力不等价于某个一般的形式系统，心灵不是一台图灵机，所以心灵是有超出形式系统外的能力的。弗兰岑也同意只有跳出系统才有可能看出系统的哥德尔语句为真。费弗曼和彭罗斯都认同数学理解力是机器无法与人心共享的，也是不可计算的，因此我们认为数学理解力就是超出系统外的能力。而数学理解力与经验、直觉、灵感等等有关，正是这部分在数学思考中起着决定性作用。所以我们对上述问题的回答是，由无法形式化的经验、直觉和数学理解力等系统外能力决定着如何扩充形式系统的语言和公理模式。站在自然主义的立场上，费弗曼同时质疑，彭罗斯等人将数学经验还原到神经生理学甚至物理化学的层次进行解释是不合适的。[1]219我们则认为，除了大脑本身的内在构造，应该引入环境这一维度[10]。因为经验和直觉通常与不可计算的外界环境(包括自然环境和社会环境)有着密切的关系，甚至一定程度上来源于环境。直觉和经验最终是人的感觉器官、大脑和外部环境相结合的产物。对于为何强调环境的重要性，还可以从其他学说的立场中找到支持。如心灵的外在主义者就认为，心理内容不仅仅是由大脑和身体的属性所决定，而更主要是由外在环境决定。行为主义心理学派也强调用行为与环境之间的函数关系来解释心灵的内在活动。尤其是生物学界广为接受的进化论，指出自然选择是生物进化中极其重要的动力，那么人类在周围的环境中进化而来，产生了意识和智能，当然也应包括数学能力。
综上所述，在借鉴卢卡斯-彭罗斯论证和费弗曼论证的基础上，我们尝试提出了一种改进的表示心灵数学能力的模型。人心证明的数学定理等价于一个完全开放的数学形式系统的可证公式，由系统外的数学理解力等对该系统的语言和公理模式进行扩充和修正，而数学理解力和直觉又归结为受到人类不可计算的外界环境的作用和影响。
卢卡斯-彭卢斯论证的大争论虽然已经持续多年，但一直到今天，卢卡斯和彭罗斯仍然在坚持捍卫着自己的观点。这场争论不但深刻揭示了哥德尔不完全性定理的内涵和哲学意义，使得心灵和机器的关系问题有了数学工具的支持，更澄清了许多重要概念和假设，最终促进了数理逻辑、认知哲学和人工智能的进步与发展。
