完结的量子力学科普，不完结的量子力学（考试）| SciFM Vol.13

上次遗留的问题是，什么是厄米算符呢？

前面我们讲了，本征值是求解本征方程得出来的。它有可能是实数，也有可能是复数。但是，我们要做实验搞测量，测到的一定是个实数呀，我们不可能测到电子的能量是1+2i J，所以呢，必须要求，物理量算符的本征值一定要是实数。而在数学上，刚好有一类算符满足这个要求，我们就把它们叫做 厄米算符 。具体怎么定义大家可以不管它，关键在于这个性质，大家了解即可。

物理量算符的本征函数构成一组正交完备基，把波函数用这组正交完备基展开，测得某个本征值的概率，就是其对应本征函数展开系数的模方。

这里又涉及到了两个概念， 正交完备基 ，和 展开系数 。这俩又是个啥东西呢？

大家肯定都玩过积木，积木里面有一些基本的积木块，比如立方体，长方体，半球，三角形，等等。我们用积木拼出来的任何一个城堡啦，小动物啦，都是每种积木块取若干个，然后拼在一起拼成的，比方说，我拼了一个小狗，用了一个立方体，两个三角形，五个长方体，那我们写成

小狗=1*立方体+2*三角形+5*长方体

类似地，可以有

小房子=1*立方体+1*三角形+1*长方体

我们把这个式子，称为一个线性展开式，前面的数字，称作展开系数。或者说，小房子，小狗，是立方体，三角形，长方体等基本零件的线性组合。“线性”的意思是，展开式里只有有一次方项，没有三角形的平方啊，三次方啊这种东西。

如果不管什么东西，都可以由这东西拼出来，我们就说，立方体，三角形，长方体，半球，构成了一组正交完备基。完备的意思是，任何东西都可以由这些基本零件拼出来，没有它们拼不出来的。正交这个概念，在积木这个例子里没什么对应，待会儿我们再来解释它的含义。

现在我们知道了，什么是正交完备基，什么是线性展开和展开系数。

那么，回到函数这里来。厄米算符的一组本征函数，构成了一组完备正交基，这就是说，每个本征函数都相当于积木中的一种基本零件，和三角形，立方体啊是一样的。 而任意一个波函数呢，可以看作是我们用积木拼出来的东西，比如，波函数f是小狗，波函数g是小房子等等。这些波函数，可以由我们的基本零件拼出来，也就是可以用我们的本征函数线性组合出来。

如果我们用S1，S2，…来表示本征函数们，数学表达式就是：

F=a*S1 + b*S2 + c*S3 + …

前面的a，b，c是展开系数（可能是复数）。

现在，基本假设告诉我们，我们能够测量到某个本征值的概率，就是对应本征函数展开系数的模平方。

那举个具体的例子，我们测量物理量S，本征函数是S1，S2，对应的本征值是s1，s2，波函数是F，那么测量到s1的概率就是a的模方，测量到s2的概率就是b的模方。如果我们不测S，改测G了，那本征函数是G1，G2，…，对应本征值是g1，g2…，那就要用G1，G2…这组本征函数去展开波函数：