3.4 De Rham上同调（4）—— 来揉橡皮泥吧

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【拓扑学中的一个 典型例子 ：我们可以把一个甜甜圈连续地变成一个咖啡杯，再连续地将它变回来，因此它们之间同胚等价。（知乎专栏似乎不支持gif文件，如果上面的图有问题可以点超链接查看。）】

【在三维空间中，我们无法把一个三叶结打开成一个圆环，但是在四维空间中我们却能够把它解开。因此连续变换并不总是可以看到的，而是需要严格验证的。】

由于连续函数的复合依旧是连续的，因此我们很容易推断出这样的同胚关系组成了一个等价类：两个空间等价当且仅当它们同胚。由于同样的原因，我们就知道两个同胚映射如果能够复合，那么它们复合之后的映射还是同胚映射。因此对于空间 而言，它自身到自身的所有同胚映射构成成了一个群。从某种意义（ 范畴 ）上来说，同胚映射也可以看成（同时也可以诱导出）代数形式上的同构。因此，拓扑研究的一个核心问题就是，两个空间是否同胚，以及有哪些性质是在同胚意义下是不变的。这样一来，我们就可以将拓扑空间分类，也可以通过探讨一个空间的拓扑性质，从而了解一类空间的拓扑性质了。

既然我们前面提到de Rham上同调是一个拓扑性质，这就意味着它是一个同胚作用下的不变量：如果空间 是同胚的，那么它们的de Rham上同调就一定是同构的；反过来，如果两个空间 所对应的de Rham上同调不是同构的，那么它们肯定不同胚。因此de Rham上同调是一个很有用的性质。

不过咱们空口无凭啊：为什么de Rham上同调就是同胚不变的呢？

如果 不仅仅是一个同胚，而是 微分同胚 ，即 和 都是光滑的，那么我们可以建立一个自然的线性映射 ：它在 中 -形式的基 上的作用就是

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