主要观点总结
陶哲轩，一位著名的数学家，讨论了多个数学猜想和问题的进展，包括庞加莱猜想、质数问题、科拉茨猜想等。他分享了个人对数学研究的热情，强调了团队合作的重要性，并对数学未来的发展持乐观态度。同时，陶哲轩也谈到了数学教育的挑战，鼓励年轻人找到适合自己的学习方式，并强调了数学在解决实际问题中的潜力。
关键观点总结
关键观点1: 陶哲轩的数学研究
陶哲轩讨论了多个数学猜想和问题的进展，包括庞加莱猜想、质数问题、科拉茨猜想等。
关键观点2: 团队合作的重要性
陶哲轩强调了数学研究中的合作，并提到了面对困难时坚持的重要性。
关键观点3: 数学教育的挑战
陶哲轩探讨了数学教育的挑战，鼓励年轻人找到适合自己的学习方式，并强调了数学在解决实际问题中的潜力。
关键观点4: 数学在解决实际问题中的潜力
陶哲轩强调了数学在解决实际问题中的价值，并展望了数学未来的发展。
关键观点5: 陶哲轩对年轻人的建议
陶哲轩为年轻人提供了建议，鼓励他们找到适合自己的学习方式，并强调了数学研究中的乐趣和挑战。
正文
莱克斯
: 我们应该说，孪生素数猜想正是如此。它假定存在无限多对相差为2的质数。那么，有趣的是，您在推动该领域发展和回答这类复杂问题方面非常成功，就像您提到的格林-陶定理。它证明了质数中包含任意长度的等差数列。您能证明那样的事情真是令人难以置信。
陶哲轩
: 对。是的，因此我们通过这类研究认识到，不同的模式具有不同程度的不可摧毁性。那么，使得孪生素数问题变得困难的是，如果你取世界上所有的素数，比如3、5、7、11等等，其中会有一些孪生素数，11和13就是一对孪生素数等等。但如果你愿意，你可以轻易地修改这些素数，以剔除这些孪生素数。孪生素数确实会出现，而且有无穷多个，但它们实际上相当稀疏。最初它们数量不少，但一旦达到百万、万亿级别，它们就变得越来越稀有。实际上，如果你能访问素数数据库，只需零星地删除一些素数，就能通过移除大约0.01%的素数，使孪生素数猜想不成立。只要挑选得当即可做到。
陶哲轩
: 因此，你可以提供一个经过删改的素数数据库，它通过了素数的所有统计检验，例如，它遵循素数定理以及关于素数的其他性质，但却不再包含任何孪生素数。而这正是孪生素数猜想的一个真正障碍。这意味着任何旨在实际素数中找到孪生素数的证明策略，一旦应用于这些略经修改的素数，就必然会失败。因此，这必然是素数某个非常微妙、精细的特征，是无法仅仅通过整体统计分析获得的。
莱克斯
: 好的，那排除了。
陶哲轩
: 是的。另一方面，等差数列已证明稳健得多。比如你可以取质数，然后剔除其中99%的质数，实际上，你知道，你可以剔除任何你想要的99%。结果发现，以及我们证明的另一件事是，你仍然能得到等差数列。等差数列非常，你知道，它们就像蟑螂一样。
莱克斯
: 任意长度的。
陶哲轩
: 是的，是的。
莱克斯
: 这太疯狂了。我的意思是，对于不了解的人来说，等差数列是一种数列，其中数字之间相差一个固定值。
陶哲轩
: 是的，但这又像一种无限猴子现象。对于任何给定长度的集合，你都不会得到任意长度的数列。你只能得到相当短的数列。
莱克斯
: 但你是在说双生质数不是一种无限猴子现象。我的意思是，它非常微妙，它仍然是一种无限猴子现象。
陶哲轩
: 是的，如果质数确实是真正随机的，如果质数是由猴子生成的，那么是的，事实上，无限猴子定理就会……
莱克斯
: 哦，但你是在说双生质数是，它不是，你不能使用相同的工具，就像它几乎不显得随机一样。
陶哲轩
: 嗯，我们不知道。是的，我们相信质数的行为就像一个随机集合。因此我们关注双生质数猜想的原因，是一个测试案例，用以验证我们是否能真正自信地、以0%的错误率断言质数的行为就像一个随机集合。好的，我们所知的质数的随机版本包含孪生素数，至少有100%的概率，或者当你向外延伸得越来越远时，概率可能趋近于100%。是的，所以质数，我们相信它们是随机的。
陶哲轩
: 算术级数之所以坚不可摧，是因为无论你的集合看起来是随机的还是有结构的，比如周期性的，在这两种情况下，算术级数都会出现，但原因不同。这基本上就是这些定理的证明方式，这类算术级数定理有很多证明，它们都是通过某种二分法证明的，其中你的集合要么是有结构的，要么是随机的，在这两种情况下，你都可以得出一些结论，然后将两者结合起来。但在孪生素数中，如果质数是随机的，那么你就很高兴，你就赢了。但如果你的质数是有结构的，它们可以以一种特定的方式构造，从而消除孪生素数。而且我们不能排除那种阴谋。
莱克斯
: 然而，据我所知，你能够在K-元组版本上取得进展。
陶哲轩
: 对，是的。那么，关于阴谋有一件有趣的事情是，任何一种阴谋论都很难被证伪。也就是说，如果你相信世界是由蜥蜴人控制的，然后有人说，这里有一些证据表明世界不是由蜥蜴人控制的，那么你会说，这些证据都是蜥蜴人安插的。你可能遇到过这种现象。比如，几乎没有办法彻底排除一个阴谋论。在数学中也是如此，一个阴谋论专门致力于消除孪生素数。你还必须渗透到数学的其他领域。但至少据我们所知，它能够保持一致。
陶哲轩
: 但有一个奇怪的现象是，你可以让一个阴谋论排除其他阴谋论。所以，你知道，如果世界是由蜥蜴人控制的，那么它就不可能同时由外星人控制。没错。所以，一个不合理的事情是很难证伪的。但不止一个，有多种工具。所以，是的，例如，我们知道有无限多个素数，它们是……没有两个，它们是……所以，无限多对相差至多246的素数，实际上，就是那个结果。所以对……有一个界限。对。所以，有孪生素数，有一种叫做表兄弟素数的，它们相差四。有一种叫做性感素数的，它们相差六。
莱克斯
: 什么是性感素数？
陶哲轩
: 相差六的素数。这个名字远没有听起来那么令人兴奋。
莱克斯
: 明白了。
陶哲轩
: 所以你可以让一个阴谋论排除其中一个，但一旦你有50个这样的，结果是你无法一次性排除所有这些。不知何故，这在阴谋论领域需要太多的精力。
莱克斯
: 你如何处理界限部分？对于数量无限的素数，你如何推导它们之间差值的界限？
陶哲轩
: 所以它最终是基于所谓的鸽巢原理。所以鸽巢原理，它的表述是如果你有一些鸽子，并且它们都必须进入鸽巢，而且鸽子的数量多于鸽巢的数量，那么至少有一个鸽巢里必须有至少两只鸽子。所以必然会有两只鸽子彼此靠近。例如，如果你有100个数字，并且它们都介于1到1000之间，那么其中必有两个数字，它们之间的差值最大为10。因为你可以把从1到100的数字分成100个鸽笼。假设我们有101个数字。101个数字，那么其中两个的距离必然小于10，因为其中两个数字必然属于同一个鸽笼。所以这是数学中一个基本原理的基本特征。
陶哲轩
: 所以它不能直接适用于素数，因为素数越往后越稀疏。素数的数量越来越少。但事实证明，有一种方法可以给数字分配权重。因此，有一些数字算是准素数，但它们并非除了自身和1之外没有任何因数。它们的因数很少。事实证明，我们对准素数的理解远超对素数的理解。于是，例如，长期以来人们就知道它们被视为准素数。这已经得到了解决。所以，准素数是我们大致了解的一类数。
陶哲轩
: 因此，实际上你可以将注意力限定在准素数的一个合适集合上。而且，尽管素数总体上非常稀疏，但相对于准素数来说，它们实际上远不那么稀疏。你可以构建一个准素数集合，其中素数的密度大约为1%。这为你提供了通过应用某种原理来证明存在仅相差100的素数对的机会。但是为了证明孪生素数猜想，你需要将素数在准素数集合中的密度提高到50%的阈值。一旦达到50%，你就会得到孪生素数。但不幸的是，存在一些障碍。我们知道，无论你选择哪种好的殆素数集合，素数的密度永远不能超过50%。这被称为奇偶性障碍。
陶哲轩
: 我很想找到……是的，我长期的梦想之一就是找到突破那个障碍的方法。因为它不仅会开启 TrinPrime 猜想，还会开启 Go-Back 猜想以及许多其他目前在数论中受阻的问题。因为我们目前的技术需要超越这个理论上的奇偶性障碍。这就像超越光速。
莱克斯
: 是的，所以我们应该说 TrinPrime 猜想是数学史上最大的问题之一，Go-Back 猜想也是。它们感觉就像是隔壁邻居。有没有哪天你觉得你看到了方向？
陶哲轩
: 哦，是啊。是啊，有时候你尝试一些事情，结果运行得超级顺利。你又会产生我们之前谈到的那种有条不紊的蹊跷感。当事情发展得过于顺利时，你会从经验中得知。是啊。因为总会有一些困难，是你或多或少必须面对的。我觉得我一个同事是这么说的，你知道，就像如果你在纽约街头，戴上眼罩，坐上一辆车，几个小时后，眼罩摘下，你已经在北京了。你知道，我的意思是，那无论如何都太容易了。比如，根本没有渡海。即使你不知道具体做了什么，你也会怀疑有些事情不对劲。
莱克斯
: 但你是否还惦记着这个？你是否会时不时地回到质数问题上看看？
陶哲轩
: 是的，当我无事可做时，这种情况越来越少，因为我这些天忙于太多事情。但是的，当我有空闲时间，而且对我的实际研究项目感到过于沮丧而无法工作，同时我也不想处理我的行政事务，或者不想为家人跑腿时，我就可以玩玩这些东西。为了好玩。而且通常一无所获。是的，你必须学会说，好吧，没关系。再次，什么都没有发生。我会继续前进。是的，非常偶尔地，我确实解决了这些问题中的一个。有时，正如你所说，你以为你解决了它，然后你可能为此感到满意15分钟，然后你又想，我应该检查一下，因为这太容易了，好得令人难以置信。
莱克斯
: 通常确实如此。你的直觉告诉你这些问题何时能解决？何时达到最佳状态并回归？
陶哲轩
: 我认为我们将持续获得更多局部结果。它确实需要至少一项。这个奇偶屏障是最大的剩余障碍。存在该猜想的更简单版本，我们正离解决它们越来越近。所以我认为，在10年内，我们将获得更多、更接近的结果。我们可能无法完全解决它。所以双生质数问题取得了一些进展。黎曼猜想，我一无所知。我认为这纯属偶然。
莱克斯
: 所以黎曼猜想是关于质数分布的一种更普遍的猜想，对吗？
陶哲轩
: 是的，它指出，如果从乘性角度来看，例如对于只涉及乘法不涉及加法的问题，质数的行为确实和你所期望的一样随机。概率论中有一种现象叫做平方根抵消，如果你想就某个问题对比如美国进行民意调查，而你只询问一两个选民，你可能就抽到了一个有偏差的样本，从而对总体平均值得到一个非常不精确的测量。但是如果你调查越来越多的人，准确性就会越来越高。准确性会随着你调查人数的平方根而提高。所以如果你调查一千人，你可以得到大约2-3%的误差范围。
陶哲轩
: 同样地，如果你在某种乘性意义上测量质数，有一种你可以测量的特定统计量，它被称为黎曼ζ函数，它会上下波动。但从某种意义上说，随着你不断进行更多的平均，以及样本量越来越大，波动应该会像随机情况一样减小。而有一种非常精确的方法可以量化这一点，黎曼猜想正是以一种非常优雅的方式捕捉了这一点。
陶哲轩
: 但正如数学中许多其他方面一样，我们几乎没有什么工具能证明某事物真正地表现出随机性。这实际上不仅仅是有点随机，它要求其行为像一个真正随机的集合一样随机，即这种平方根抵消。实际上，我们在这里知道，由于与奇偶性问题相关的一些因素，我们大多数人常用的技术都无法指望解决这个问题。证明必须以出人意料的方式出现。
莱克斯
: 是的，但那究竟是什么，目前没有任何人提出认真的方案。
陶哲轩
: 正如我所说，有各种方法，你可以稍微修改素数，然后你就可以“摧毁”黎曼猜想。所以它必须非常精妙。你不能应用具有巨大误差范围的方法。它必须勉强能用。并且有所有这些你必须非常巧妙地避开的陷阱。
