原本研究解析数论的他，帮助NASA把“阿波罗”号飞船送到月球

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图3. 阿仁斯道夫转为NASA科学家时的照片

阿仁斯道夫的专业方向是数论，听起来跟天体力学完全没有关系。即使他拿到博士后立即转行，也很难想像他能被布劳恩选中研究天体轨道问题。这里的关键是他使用的研究工具——复分析。前面说过，他的博士论文结果是用的复分析。现在我们再来看看他是怎样把复分析用到天体力学里，具体地说就是怎样用到三体问题中的。

图4. 三体问题图释

三体问题是天体力学中的基本力学模型。它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。这是一个有三百多年历史的古老问题。历史上，包括欧拉、拉格朗日和庞加莱在内的著名数学家都研究过。如果把这些运动方程都罗列出来一共有9个方程。现在已经知道，三体问题不能精确求解，即无法预测所有三体问题的数学情景，只有几种特殊情况已有研究结果。但即使是用数值解法，也不能得到稳定的解，因为初始值的一点波动都会导致解完全不同。庞加莱率先考虑了一个特殊的情况：在三个天体中有一个的质量与其他两个相比如此之小到了可以忽略其对另两个大天体运动的影响。这样，两个大的天体就可以看作是一个二体问题。而二体问题早在牛顿时代就已经圆满解决了。也就是说，它们可以按照开普勒定律绕着它们的质量中心作稳定的椭圆运动。然后把小天体加入到这个二体系统中，看这二体对小天体的影响。这样的三体问题称作是限制性三体问题。其方程从9个减少到3个。

图5. 地球和月球在一个平面上

NASA要研究的正是一个限制性三体问题，因为NASA关注的是在1960年代末的登月问题。而前人还没有找到一条让人造卫星飞向月球的路线。所以阿仁斯道夫所面对的三体就是 ^[4] ：地球（E）、月球（M）和人造卫星（P）。显然，地球的质量远远大于月球的质量。而人造卫星的质量对地球和月球运动的影响可以忽略不计。这三体都被看作是点质量，并且是在同一个平面上。于是这个平面就可以被看作是一个复平面。假定这个三体系统的总重量为1，月球的质量为μ （ 0 < μ << 1），则地球的质量为1 – μ 。取地球和月球的重心为坐标系的原点，则人造卫星的轨迹满足一个复常微方程：

其中复数 x(t) = x ₁ (t) +ix ₂ (t) 是人造卫星的位置向量。也就是说，阿仁斯道夫把问题简化到了一个方程和一个复变量的问题。当μ = 0时，这个方程的解描述的是经典开普勒运动： x(t) = e ^-it z(t) ，这里复函数z(t) 是方程 z ’’ (t) = -z(t)|z(t)| ^-3 的一个特解。在一定条件下，这个解是一个周期解，即沿着一条椭圆轨道做周期运动。当μ在零点附近做小的扰动时，出现两种情况：一个是庞加莱发现的圆周运动，另一个就是阿仁斯道夫得到的解。假定椭圆轨道的半长轴为a，离心率为ε，在t = 0时，z(t) = a⋅(1 + ε)，z(t) = ic*/ z(0)，其中常数c*满足 c* ² = a⋅(1 – ε ² ) 。它的轨道周期为 T ₀ = 2π|a ^3/2 | 。这时，相应的x(t)成为周期函数的充分必要条件是 T ₀ 与2π可共度，也就是说存在两个互素的整数m和k使得 a ^3/2 =  m/k 。阿仁斯道夫的解就是围绕不同的m和k得到的。所以，他得到的是一组解。

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