庞加莱成为现代拓扑学的创始人，这事有点儿奇怪

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当一个数学理论开始产生猜想时，它就开始活跃起来了。拓扑学就是伴随着庞加莱 1895 年出版的著作《位置分析》而活跃起来的。在拓扑学发展的最初几十年间，它经常被称为“位置分析”。直到 20世纪 30 年代，人们才普遍用“拓扑学”来命名这个学科。我想这应该感谢所罗门·莱夫谢茨（1884—1972），我稍后将详细介绍这个人。

庞加莱成为现代拓扑学的创始人，这里有点儿奇怪。

数学家认为，拓扑学实际上有两种风格：一种源自几何学的启示，另一种源自分析学。这里的“分析”指的是数学意义中的分析，即以函数、极限、微分和积分作为研究对象的数学分支，这些研究对象都与 连续性 有关。如果你回头看一下我在前面多次提到的 光滑 和 连续 变形，你就会掌握这种拓扑意义中的联系。从某种意义上说，如果没有光滑、连续、从一个位置到另一个位置的无穷小移动等基础概念，即一些分析的思维方式，那么拓扑学就没有意义。

用数学术语来说， 分析 的对面是 组合 。在组合数学中，我们研究的事物可以数出来：1、2、3，等等，且整数之间不存在其他数。因为相邻整数之间没有整数，所以从一个整数到另一个整数没有一条光滑的路径，我们需要跳过一个个间隔。分析数学是连贯的，可以光滑地在连续的空间中穿梭；而组合数学是断断续续的，从一个整数直接跳跃到另一个整数。

如今，拓扑学应该是所有数学研究中最具有连贯性的，因为橡皮面可以光滑、连续地弯曲和伸缩。然而，最早出现的拓扑不变量却是一个表示孔洞数的整数，它用来衡量一个曲面内环状孔洞的个数，是由瑞士数学家西蒙·吕利耶（1750—1840）于 1813 年发现的。维数是另一个拓扑不变量（在拓扑意义中，你不能把一根鞋带变成一张煎饼，或把一张煎饼变成一块砖），它也是一个整数。甚至连庞加莱发现的那些基本群也不是像李群那样的连续群，而是如“数学基础知识：数和多项式”中定义的那样的可数的离散群。尽管这些群可能是无限群，但是它们的元素可以数出来：1、2、3，等等。连续群中的元素是不可数的。所以，拓扑学中所有有趣的东西似乎都是离散的，而不是连续的。

自相矛盾的是，庞加莱经由分析学进入拓扑学，确切地说，他是在研究微分方程的一些问题时来到了拓扑学领域。然而，他的研究结果以及他在《位置分析》中的所有思想都是组合的。从分析角度研究拓扑学（现在通常被称为 点集拓扑学

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