改变世界的17个方程式，你认识几个？

算法与数学之美 · 公众号 · 算法 · 2023-03-25 22:27

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3.微积分

图中公式为微积分中导数的定义。导数可理解为一个数量的变化率。比如，我们可以把速度看作是位移的导数。如果我们步行的速度是每小时4公里，那么每个小时，我们的位移变化为4公里。

实际上，很多研究都着眼于事物是如何变化的。而导数与积分 (微积分的另一个重要公式) 是数学家与科学家们理解变化的根本工具。

可以用来切线和面积的计算。立体体积和曲线长度公式。牛顿运动定律、微分方程。能量和动量守恒定律。数学物理的大部分内容。

4.万有引力定律

牛顿的万有引力定律描述了两个物体间的引力作用F。其中G为万有引力常数，m1和m2表示两个物体的质量，r为物体间距离。在科学史上，牛顿的这一笔有着举足轻重的地位。它不仅解释了地球上的重力作用，还几乎完美地诠释了行星的运行方式。这已经扩展到了太阳系，甚至整个宇宙。

牛顿的万有引力定律作为经典引领了物理学200余年，直到爱因斯坦的广义相对论出现才被替代。

能够准确地预测日食、行星轨道、彗星返回、星系旋转。人造卫星、地球勘测、哈勃空间望远镜、太阳耀斑观测。行星际探测器、火星车、卫星通信和电视、全球定位系统。

5.复数

数学家们一直在对数字进行细分，自然数、负数、小数、实数……后来，出现了虚数单位i，它表示-1的平方根。人们这才开始知道复数。

从数学上讲，复数是极为优雅的。这种代数结构漂亮地解决了我们的需求——任何方程都具有复数解。这对实数来说当然是不可能的。微积分也被扩展到复数当中，我们借此发现了这些数字的奇妙特质，比如对称性。这些属性是电子学和信号处理的重要基础。

更好的计算三角表的方法。将几乎所有数学推广到复数域。用更强大的方法来理解波、热、电和磁。量子力学的数学基础。

6. 欧拉多面体定理

多面体是多边形的三维版本，好比立方体之于正方形。多面体的每个角叫做顶点，顶点的连线称为棱，棱所形成的多边形是面。

一个立方体拥有8个顶点，12条棱和6个面。我们算一下，顶点数加上面数，再减去棱数，8+6-12=2。欧拉的多面体定理告诉我们，只要给定一个常规的多面体，那么顶点数加面数再减去棱数，结果一定是2。无论它有多少个面。

这一发现是我们后来称之为拓扑不变量的第一条内容。在拓扑不变量中，同类型物体的一些属性和数量是彼此相似的。对于所有“常规的”多面体来说，V+F-E=2。这一定理以及欧拉对“柯尼斯堡七桥问题”的解答奠定了拓扑学的基础。这个数学的分支对近代物理学有着重要意义。

纯数学中最重要和最强大的领域之一：拓扑学，它研究连续形变下不变的几何性质，比如曲面、纽结与链环。大多数应用是间接的，但它在幕后起的作用十分关键。它有助于我们了解酶如何作用于细胞中的脱氧核糖核酸（DNA），以及为什么天体的运动可能是混沌的。

7.正态分布

正态概率分布图近似于钟形曲线，在统计学中应用甚广。

物理学、生物学和社会学都广泛采用正态曲线作为不同研究对象的模型。其应用如此广泛的主要原因在于它可以描述大量独立过程的行为表现。