主要观点总结
文章介绍了关于加法的未解之谜，即无和集的性质。自20世纪初以来，数学家们一直在研究这个问题。传奇数学家Paul Erdős提出了一个关于无和集普遍性的问题，最近被牛津大学博士生Benjamin Bedert解决。Bedert证明了对于任意包含N个整数的集合，存在一个至少包含N/3 + log (log N)个元素的无和子集。该结果解决了Paul Erdős的猜想，并揭示了无和集的隐藏结构。
关键观点总结
关键观点1: 文章介绍了无和集的性质和数学家们长期以来的研究。
自20世纪初以来，数学家们一直在研究这个问题。传奇数学家Paul Erdős提出了一个关于无和集普遍性的问题，该问题困扰了数学家数十年。
关键观点2: 牛津大学博士生Benjamin Bedert解决了这个难题。
Bedert证明了对于任意包含N个整数的集合，存在一个至少包含N/3 + log (log N)个元素的无和子集，解决了Paul Erdős的猜想。
关键观点3: Bedert的解决过程涉及到Littlewood范数的运用。
Bedert运用Littlewood范数的理论来解决问题，他发现具有小Littlewood范数的集合具有某些类等差数列特性。他利用这一特性，成功证明了存在大型无和子集。
关键观点4: 这项研究揭示了无和集的隐藏结构。
通过Bedert的研究，数学家们对无和集的隐藏结构有了更深入的理解，这对未来研究具有重要意义。
关键观点5: 仍然存在未知问题。
虽然Bedert的结果解答了最大无和子集是否会无限大于N/3这一问题，但数学家们尚不清楚这种偏差的具体增长速度。此外，小Littlewood范数集合的结构仍然是一个有待研究的课题。
正文
自 1965 年起，传奇数学家 Paul Erdős（保罗・爱多士，为现时发表论文数最多的数学家，多达 1525 篇，曾和 511 人合写论文）在一篇论文中提出了一个关于无和集普遍性的简单问题 ：
一个整数集合中，最大的不含任意两数相加结果的子集究竟能有多大？
此后数十年，这个看似简单的问题却困住了无数数学家。
直到今年二月，在 Erdős 提出该问题的六十年后，终于被牛津大学博士生 Benjamin Bedert 破解了。
Bedert 证明了对于任意包含 N 个整数的集合，存在一个无和子集，其大小至少为 N/3 + log (log N)。 这一结果首次严格证明了最大无和子集的大小确实会超过 N/3， 并随 N 增长而增大，从而解决了 Paul Erdős 的猜想。
他的证明深入数学本质，通过融合不同领域的技巧，不仅揭示了无和集的隐藏结构，更为其他各类数学场景提供了新见解。
Benjamin Bedert—— 这位牛津大学的博士生 —— 解决了一个困扰数学界数十年的难题，该难题从根本上检验了加法在集合中的作用机制。
进退维谷的证明过程
Erdős 发现，任何整数集合都必然包含一个更小的无和子集。以集合 {1, 2, 3} 为例（它本身并非无和集，因为它包含两个数的和仍属于该集合），其中就存在五个不同的无和子集，比如 {1} 和 {2, 3}。
这位数学大师试图探究这一现象的普遍规模：如果一个集合包含一百万个整数，其最大无和子集的规模究竟有多大？
Paul Erdős
在多数情况下，这个子集大得惊人。如果随机选取一百万个整数，其中约半数会是奇数 —— 这就能形成一个约 50 万元素的无和子集。
在 1965 年的论文中，Erdős 用短短数行完成了一个被数学家们誉为天才之作的证明：
任何包含 N 个整数的集合，都必然存在一个至少包含 N/3 个元素的无和子集。
然而他并不满足于此。该证明基于平均值原理：他构造了一系列无和子集，并计算出其平均规模为 N/3。但数学界普遍认为，在这类集合族中，最大子集的规模理应远超平均值。
Erdős 希望量化这些超大无和子集的具体规模。数学家们很快提出猜想：随着集合规模 N 的增大，最大无和子集的尺寸将显著超过 N/3。更准确地说，其偏差值会无限增长。这一预测 —— 即最大无和子集的规模等于 N/3 加上一个随 N 趋向无穷大的偏差项 —— 如今被称为无和集猜想（sum-free sets conjecture）。
