空间点过程与随机测度（二）：测度的故事

算法与数学之美 · 公众号 · 算法 · 2016-12-07 22:35

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1.各个区域内的所有星星的总质量

2.各个区域的面积大小

不可测集和分球悖论

不过，在某些条件下，测度并不能定义在全部子集上。说通俗点，就是对其中一些集合，我们不可能定义出它的测度。比如说，在二维平面，我们可以按照一般的理解定义面积函数，比如长和宽分别为a和b的长方形面积为ab。对于复杂一点的形状，我们可以通过积分来计算面积。但是，是不是所有的二维平面的子集都存在一个“面积”呢？正确的答案显得有点“违背常识”：在承认选择公理(Axiom of Choice)正确的情况下，确实有一些集合没法定义出面积。或者说，无论我们在这些集合上定义面积为多少，都会导致自相矛盾的结果。

这里要注意的是，“没法定义面积”和“面积为零”是两回事。比如，在二维集合上的单个离散点或者直线，面积都是零。而那些“没法定义面积”的子集——我们称之为“不可测集”都是一些非常非常奇怪的集合——对于这些集合，我们把它的面积定义为零，或者别的什么非零的数，都会导致自相矛盾。这样的集合是数学家们用特殊的巧妙方法构造出来的——在实际生活中大家是肯定不会碰到的。这样的构造并不困难，但是很巧妙。有兴趣的朋友可以在几乎每本讲测度论的教科书中找到这种构造，这里就不详细说了。