代数，分析，几何与拓扑，现代数学的三大方法论

很多人都听说过“现代数学分成代数、分析、几何”三大块这种说法。其实这种说法并不准确。数学并不是像生物学分类那样，按照界门纲目科属种那样能够严格地分出不同层次的分界线。现代数学不同领域的差异当然存在，但是这些领域的边界线则犬牙交错，交叉的地方并不清晰。而且某个领域使用其他领域的方法和定理也是很常见的事情。

那么，我们首先简单介绍一下三大方法论大致是个什么“取向”，给对数学有兴趣的初学者一点感觉：

代数：以线性代数、抽象代数为基础，研究各种代数结构，比如最常见的群环模域线性空间，李代数，以及不那么常见的高阶同伦代数（homotopy algebra）等等。代数的一个基本特征是对称性。一般来说，某个数学对象（比如说拓扑空间）如果具备某种代数结构（比如拓扑空间上面有同调群），那我们就可以利用这种代数结构的已知结果，来反过来研究、“探测”那个数学对象。这是代数影响其他数学分支的一个基本模式。

分析：以广义的微积分（比如实分析复分析调和分析等等）、微分方程理论、泛函分析等为研究工具，对函数、方程等“可以求导”的东西进行精细的分析（比如不等式估计等等），的一种方法论。分析大致可以分为软分析和硬分析。个人的观点是，软分析有点像定性的分析，比如泛函分析里各种结论，比如一个函数空间紧嵌入到另一个函数里，不需要知道到底怎么嵌入的，就可以依据紧性推导出一些结论。而硬分析则有点像定量的分析：每个常数，跟哪些量有关，具体是怎么个相关法（多项式依赖？指数依赖）？这些常数具体是多少，能不能做到最优，最优常数是多少？用一列东西去逼近一个东西，误差项大概有多大？误差项是什么阶数（多项式（几次多项式？）？多项式乘以对数？）？能不能把bound放大或者缩小，直至最优？ etc.