回归基本原理的数字探索：减法与0的发现

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为了方便解释，下文中会写出笔算时通常省略的“+ ”和“0”。

笔算过程中隐藏着数字的基本原理。首先，分解24=4+20，再分别计算7×4和7×20。

7×(4+20)=7×4+7×20

也许你觉得这是理所当然的，不过这个运算有一个响亮的名字叫“ 分配律 ”。如果用 a、b、c 代替具体的数字，这条定律可以记作

分配律：a×(b+c)=a×b+a×c

回到笔算过程，在7×24下方画一条横线，在横线下方写出7×4和7×20的计算结果。7×4当然等于28。然后再思考7×20的计算方法，首先分解20=2×10，先计算7×2=14，再将其结果乘以10，得出140。公式书写如下：

7×(2×10)=(7×2)×10=14×10=140

第一个等号处运用了结合律。

结合律：a×(b ×c)=(a×b)×c

相同公式同样可以运用于加法运算，

结合律：a+(b+c)=(a+b)+c

这也叫作结合律。

此外，还有一条“交换律”。

交换律：a+b=b+a, a×b=b×a

上算术课的时候，当老师提问“1 个苹果100 日元，买5个苹果要花多少钱？”如果回答“5×100 =500，总共500日元”，由于公式没有按照“1 个苹果的钱”ד个数”的顺序计算，有些小学会判这个方法错。但是乘法有交换律，即使计算的顺序不同，得出的结果是相同的。

结合律、交换律和分配律这 3 条定律加上“1”的性质

“1”的性质：1×a=a×1=a

就构成了数字的基本原理。 我们在平时的计算中会无意识地使用这几条定律，不过数学的做法就是意识到它们的存在，分别为它们命名并加以验证。 接下来我们就以这3条定律和“1”的性质为基础，通过它们去探索数字的世界。

2 减法与0的发现

也许在文明刚开始的时候，仅靠加法和乘法运算就能够满足人类的需求。当人类发明了货币，出现了商品借贷，减法运算也成了一个必要条件。 减法就是“加法的逆运算”。 自然数a减自然数b的过程

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