无穷小量的回忆录丨混乱博物馆

混乱博物馆 · 公众号 · · 2018-11-02 23:59

正文

请到「今天看啥」查看全文

－文字稿－

古希腊的智者时代，有一个著名的前苏格拉底哲学家，芝诺，他提出了一个最经典的佯谬，“追着乌龟的阿基里斯”：阿基里斯的速度是乌龟速度的100倍，但乌龟先走了99个单位。阿基里斯要追上乌龟，就要先走完这个99个单位，但乌龟将在同样的时间内再走0.99个单位，阿基里斯于是还早再追0.99个单位，然而乌龟已经又走了0.0099个单位，阿基里斯还得再追0.0099个单位……以此类推，尽管阿基里斯与乌龟的差距将成为无穷小量，但无穷小量毕竟不是0，

芝诺认为这证明了快的永远追不上慢的，也就证明了速度不存在，运动也不存在。

与此同时，就以圆周率计算来说，早期的割圆法暗示了这样一种思想：两个量虽然有差距，但只要能使这个差距无限缩小，就可以认为两个量最终将会相等。

接着在计算圆形的面积时，沿着半径将圆拆分成无穷多个扇形，然后认为这个直与弯之间的无穷小量就是0，由此得出了圆形面积的精确公式——这些微妙的矛盾在西方的阿基米德时代和东方的九章算术时代就埋伏确立下来了。

南北朝时，祖冲之的孙子，祖暅在计算球体体积时提出了祖暅原理：对于平面上的任意两个形状，如果它们等高，且在相同高度上等宽，那么这两个形状面积相等；同样，空间中任意两个形体，如果它们等高，且在相同高度上横截面积也相等，那么，这两个形体体积相等。