Leibniz 如何想出微积分？（三）

算法与数学之美 · 公众号 · 算法 · 2017-01-21 22:04

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，都是「函数」，一个定义在自然数集 N 上，一个定义在区间 [ a , b ] 上，因此两者分别是离散 (discreteness) 与连续 (continuity) 之间的类推。

和分 (summation) 探究数列的求和问题，积分探求函数图形在 [ a , b ] 之上所围成的面积，见下图 2。两者具有密切的关系。

图2

首先观察到，和分可以解释为下面图 3 之柱状图的面积。

图3

其次将函数 y = f ( x ) 离散化：作区间 [ a , b ] 的分割

考虑和分，其几何意义就是下图 4 诸矩形所成的阴影面积，它是图 2 的近似面积。

图4

现在想象将 [ a , b ] 分割成无穷多段的无穷小段 dx （即微分），想成是差分的极致（参见图 2），然后考虑无穷小矩形的面积，从 x = a 连续地累积到 x = b 。这样的求和跟和分有关但却不同，为了区别起见 Leibniz 在1686年首度将记号改为。理由是：S 表示求和 Sum 的第一个字母，将 S 稍微拉伸变成，表示连续地求和。因此，就用美妙的记号来表示图 2 阴影领域的面积，说成 f 在 [ a , b ] 上的积分。换言之，阴影领域的面积就是无穷多个无穷小矩形面积的连续求和，即定积分 (definite integral)。