正文
36
3636=
56
36
36=
16
36=76
，
所以我们说
36
的阶是
5
，依次类推。你能算出其它成员的阶分别是几吗？
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4
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16
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24
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36
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44
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56
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64
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76
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84
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96
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4
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16
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24
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36
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44
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56
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64
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76
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84
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96
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如果你想亲自体验到其中滋味，我建议你自己去编造一个特殊乘法表或利用下面的“乘法表”来验证第③和第④条，第①、②、⑤条要单独计算验证，对于小学生来说用笔算感觉会更加好，如果你笔算非常熟练，也可以直接用计算器算。
这个群其实只是我发现的群的一个子群，因为元素个数比较适中，所以我就把它放在前面了，而我最开始发现的群是由20个成员的：{4、8、12、16、24、28、32、36、44、48、52、56、64、68、72、76、84、88、92、96}
下面我将简单介绍一下，这个“独立王国”的发现过程：
之前就有耳闻：教小学生群论是可能的。我当时的感觉是：这么抽象的内容，数学专业生都不易理解，如果硬是想办法嚼碎了喂给小学生吃，意义不大。去年寒假，在家休息时，一直在看谈详柏老先生的著作《数学不了情》，从中了解到，如果定义一种
‘
截取尾数乘法
’
的话，我们就能够得到一个
8
阶五位数乘群，这个群
G=
｛
46875
、
96875
、
21875
、
71875
、
90625
、
40625
、
15625
、
65625
｝
，定义的乘法为
：先按普通乘法算乘积，再
截取结果末五位作为群乘的结果
。神奇的是这样的乘法对于集合
G
是封闭的，①
G
中任意两个元素按这样的乘法相乘，其结果依然还是
G
中元素，跑不出
G
的范围。②
96265
相当于
G
中的单位元；③对于
G
中每个元素，都能通过计算找到其逆元素。同时还满足交换律，所以
G
不仅是一个群，还是一个阿贝尔群。但是，由于当时没有太多感觉，就搁浅了，没有深入研究。直到今年四月中旬，开通了自己的数学公众号，准备为提高学生的数学学习兴趣和数学研究能力，分享一些资源和自己的思考。要开始着手找素材了，所以就形成了一个习题库，从中发现并改造出，对于学生全面地理解加减乘除这四种运算的题目，但同时也没有落下坚持翻看大学专业数学书籍的习惯，其中《近世代数》从毕业以来，已经翻看了两三遍，但也一直是限于自己对大学知识的复习。直到最近要找数学题素材，再次翻到了谈老的《数学不了情》，又一次看到了
｛
46875
、
96875
、
21875
、
71875
、
90625
、
40625
、
15625
、
65625
｝
，于是才产生要不要呈现给学生的想法，但是细想，这里面的数太大，对于三年级学生不太合适，虽然四年级学生可以用计算器来算，但我感觉这没有亲自动笔感受深刻，对于群的魅力感受也会打折扣，于是又放弃了。稍后，躺在床上，突然一个念头崩出来：五位数乘五位数太大，何不构造一个三年级就可以操作的两位数乘两位数，这个点子，马上让自己大脑兴奋起来，于是马上开灯，翻开近世代数，群论那一章，又把群的定义认真复习了一遍，接着随手在草稿纸上写了几个两位数，试着乘一下，看结果末两位有没有规律，结果感受到的是，两位数太多，无从下手
……
第二天，上完课，坐在办公室，由于暂时地闲下来了，就想起了，昨晚构造群的事情，因为想到：如果能构造出一个两位数乘两位数
‘
乘群
’
，不仅可以让学生很好地练习刚学的笔算乘法，还能让他们感受一下，群的代数结构的魔力，为他们日后学习数学专业也埋下了一颗种子，于是马上拿起纸和笔，陷入了思考：①两位数乘以两位数，结果是三或四位数，而谈老的五位数
‘
乘
’
群中的元素都是较大的五位数，如果存在两位数
