正文
1
,𝑃
2
,…,𝑃
𝑁
都位于单位球的表面上。我们定义单位向量：𝑣
𝑖
=𝑂𝑃
𝑖
代表从中心到接触球球心的向量。任意两个接触球的球心形成的夹角 𝜃
𝑖𝑗
由向量点积公式计算：cos𝜃
𝑖𝑗
=𝑣
𝑖
⋅𝑣
𝑗
。如果N个接触球均匀分布在单位球表面，它们之间的最小夹角 𝜃
min
应该尽可能大，以避免重叠，它们的最小夹角大约为60°到63.4°。但如果我们尝试放入第 13 个接触球，则这个新球必须找到一个空位，而它与其他球的夹角将变小。计算表明，至少有两个接触球的夹角 𝜃
𝑖𝑗
会小于所需的最小角度，导致它们的球面区域发生重叠。这也就证明了，三维空间的吻接数是12。
具体来说，他们先将中心球与外围球的球心“投影”到单位球面上：把外围球的球心与中心球的球心连线，并将该连线延伸至与单位球面相交。由于外围球都与中心球相切，被投影到球面上的点彼此之间必须保持一定的最小夹角，以免对应的外围球产生重叠。
接着，他们在球面上为每个投影点划定一个不互相重叠的球冠，并发现：如果试图放置超过12个点，这些球冠的总面积就会超过球面可提供的总面积，从而形成逻辑上的矛盾。这也就证明了，三维空间的吻接数是12。
那其他维度的“吻接数问题”呢？
吻接数问题同样适用于任意维度的球。在一维空间，一条直线上中心球两侧可以各接触1个球，共吻接2个球。在二维空间里，情况同样一目了然：在桌上放一枚硬币，周围最多可围上6枚紧贴它的硬币，宛如一朵雏菊盛开。那么，若维度继续提升，情况又会如何呢？
二维空间的吻接数为6丨图片来源：Quantamagazine
在数学中，维度表示描述空间所需的独立方向数。例如，一维空间是一条直线，只有长度；二维空间是一个平面，具有长和宽，比如纸张上的图形；三维空间则是我们日常生活中的立体空间，包括长、宽、高。四维及更高维度则属于数学中的抽象概念，每增加一个维度，就意味着多了一个独立的方向。
举个生活中的例子：假设你每天记录体重、身高、血压、睡眠时长4个数据，你的健康状态就可以看作一个四维空间中的点，你的健康状态可以看作四维空间中的一个点，每个指标对应一个维度。“球”则代表所有满足某种条件
（如健康评分范围）
的数据集合。
随着维度的升高，吻接数问题会变得更加复杂。这是因为每增加一个维度，球体的接触点排列方式都会呈指数级增长。在三维空间中，最多只能有12个球围绕中心球紧密贴合，而在24维空间，这一数目则暴增至近20万个，它们以超对称晶格的方式排列，犹如一张极为精密的编织网。而
在24维中验证这近二十万个点是否重叠，涉及了1933亿次计算
。
此外，高维空间中的球体几何性质与低维空间大相径庭，常常颠覆我们的直觉。例如，在100维空间中，一个边长为1的超立方体
