主要观点总结
本文介绍了数学家高斯和黎曼在素数领域的探索和研究。高斯发现了素数和对数之间的函数关系，并提出了对数积分函数Li(N)来预测素数的分布。尽管起初受到其他数学家的质疑和争议，但通过不断的实验和证明，高斯的理论逐渐被接受并得到了改进。黎曼则进一步探索了素数分布背后的神秘力量，并听到了素数乐章里的主旋律。本文还提到了高斯在天文领域的成就和其生活经历，以及他的学生黎曼在素数研究上的贡献。最后，文章强调了探索黎曼假设和数学家求知路上的苦与乐的重要性。
关键观点总结
正文
1
～
1000
或者
1
～
1 000 000
的话，那么这个比重会有怎样的变化？
高斯开始了对素数表的探索之旅。当观察素数比重时，他发现，随着计算的数字越来越多，一条规律逐渐浮现了出来。尽管素数还是那么无序，一个惊人的规律似乎就要浮出水面了。如果看看以下的表格，其中列出了
10
的不同幂次以内的素数个数，基于更先进的计算方式，那么这一规律就显而易见了。
这个表格包含了更多的信息，能将高斯发现的规律更清晰地展示出来。在最后一列，这一规律就不证自明了。这一列，就是素数占所有考虑在内的数的比重。例如，
1
～
100
的数字中，有
1/4
是素数，所以差不多平均每往后计算
4
个数字就能找到下一个素数。而在
1
～
10 000 000的数字中，有
1/15
是素数。（也就是说，一个
7
位电话号码有
1/15
的可能是素数。）对大于
10 000
的
N
来说，根据最后一列的比重，似乎幂次每增加
1
就增长
2.3
左右。
因此，高斯每次进行
10
倍递增数字时，便在素数与所有数字之比上加约
2.3
。乘法和加法的关系可以用对数准确地表述出来。高斯可能在那本对数书中发现，这一关系就明明白白地摆在眼前。
高斯每次把数字乘以
10
后，素数比重每次增加
2.3
而不是
1
的原因在于，素数对除
10
之外的幂次的对数青睐有加。在计算器上求
100
的对数，结果就是
2
，也就是方程
10
x
=
100
的解。但是这也并没有要求我们必须算
10
的
x
次幂。可能是因为大部分人都有
10
根手指，所以就对10
情有独钟了吧。选择的数字
10
，称作对数的
底
。我们可以谈谈以其他数为底的对数。
例如，以
2
为底
128
的对数，就要解另外一个方程，找到符合
2
x
=
128
的
x
。在计算器上计算以
2
为底的
128
的对数，得到的结果就是
7
，因为我们需要对
2
进行
7
次相乘才能得到
128
。高斯发现的素数，在对数中可以利用一个特殊的数为底，这个特殊的数就是
e
，保留
12
位小数为
2.718 281 828 459...
（和
π
一样，这个数字是无限不循环小数）。在数学上，
e
和
π
的地位相当，在数学界无处不在。这就是为何要将以
e
为底的对数称作“自然”对数的原因。
高斯
15
岁那年看到的对数表，令他产生如下猜想：对于
1
～
N
的数字，大概每
log(
N
)
个数字后就会出现一个素数（这里
log(
N
)
指以
e
为底的
N
的对数）。不过，高斯并没有宣称自己发现了一个巧妙的公式，可以精确计算出
N
以内的素数个数，它只是能大致估计出素数的个数罢了。
这和他之后重新发现谷神星所应用的方法相似。基于记录数据，他提出了一种天文学方法，可以更好地预测出可供观测的小区域空间。高斯将这种方法运用在素数上。历代数学家都为如何发现能够准确预测下一个素数的公式所深深困扰着。某个数字到底是不是素数？高斯并没有执着于此，反而触碰到了某种规律。他另辟蹊径，探索一个更宽泛的问题，即
1
～
1 000 000
的数字内到底有多少素数，而不是纠结于哪些数字为素数。这时，一条规律似乎呼之欲出了。
高斯在寻找素数的方法上做出了重要的思想转变。这就好比前人聆听素数的乐章时是一个音符一个音符地听，这样是无法感受到整体韵律之美的。将精力集中在统计有多少个数字上，高斯就发现了一种新方法，来聆听最动人的主旋律。
在高斯之后，
