正文
庞加莱
赛先生：
在本书的第二章中，您曾模仿李约瑟歌唱爱因斯坦的诗句，述说庞加莱在混沌历史上的地位：
自然和自然规律隐藏在黑暗之中，
上帝说：“让牛顿降生吧！”
一切就有了光明，
但是，光明并不长久，黑暗又降临了，
上帝挥一挥衣袖：“嗬，让庞加莱降生吧！”
从此，无序和有序共舞。
请问为什么庞加莱会被称为“混沌之祖”？
丁玖：
近代物理从17世纪的伽利略开始，经过两百多年的发展，蔚为壮观，但是其基本理念还局限在机械决定论的范畴，对有序自然现象的定量研究不断深入，但科学探索的触角还未能伸展到更为复杂的非线性现象。在对应的微积分应用研究中，定量理论依然占据着微分方程的主要场所。
庞加莱在他获奖的天体力学研究中，深入地研究了微分方程的定性理论。他从三体问题基于牛顿第二定律和万有引力定律的非线性二阶常微分方程中，已经清楚地知道解对初始条件的“敏感依赖性”，这导致解的最终形态的“不可预测性”。这就是混沌的本质。
他在《科学与方法》中关于“机遇”的那一章里，明确地写道：“并不总有可预测性现象。初始条件的小变化也许会导致最终现象的大变化。前者的小误差将产生后者的大误差。预测将变得不可能，偶然现象飘然而至。”他是自然科学史上第一个真正懂得混沌现象存在的科学家，所以当之无愧地成为“混沌之祖”。
赛先生：
您在本书的第四章中讲到了1944年6月盟军在诺曼底登陆成功，那几天关键的“恶劣天气间有十几小时的好天气”的精确天气预报是无名的英雄。而自从冯·诺依曼造出第一台现代计算机，他就立下矢志，让越来越强大的电子计算机成长为一位“人造的英雄”，为天气预报以及更进一步控制天气发挥重要作用。可是他万万都没有想到，操纵天气变化的微分方程内在的特性即将扮演着一个反英雄的角色，发现这位反英雄的正是二战中担任美国空军气象预报员的洛伦茨教授。为什么洛伦茨能发现气象预报中的混沌？
丁玖：
纯粹数学家冯·诺依曼从上世纪40年代起，开始致力于应用数学的研究，在许多领域做了开创性的工作，比如对策论和数值分析。在参与研制原子弹的过程中，他越来越感到计算数学对科学发展的重要性。很快他关于计算机存储器的天才想法让他成为电子数字计算机之父。五十年代初，他在普林斯顿高等研究院造出第一台现代计算机，然后他的大量精力用于推进计算机的发展，直到1957年因癌症去世。那几年，他曾设想让越来越快的电子计算机计算出越来越精确的中长期天气预报，并且更进一步能让人工控制天气。可惜，他太乐观了，因为那时他不知道天气预报所基于的微分方程具有混沌的本性，因而中长期精确天气预报是不可能的，并且他自己没有这些方程数值求解的直接经历，失去了产生来自第一手资料的新颖想法的机会。
麻省理工学院的气象学教授洛伦茨在冯·诺依曼去世后大约五年的期间内，热衷于天气预报模型的数值试验。
在他看似偶然发现的小小初始值变化导致计算最终走向迅速偏离原状的现象中，洞察到“蝴蝶效应”这一稍纵即逝的混沌本质，为创立一门新学科播下了种子。
他能从通常的误差传播的思维的束缚中突围而出，力逮气象模型内在特征的关键之处，这与他大学本科及硕士研究生的学位都是数学这个重要事实有极大的关系。数学的思维以及分析的能力能让他透过表面现象而深入下去，最终获得用于气象的微分方程的解“具有对初始条件的敏感依赖性”这一关键想法。
洛伦茨
赛先生：
您在本书中特别讲到了您的恩师、著名华人数学家李天岩先生关于混沌理论的学术成就，其中最有名的就是李-约克定理。您可以为我们简要介绍一下吗？为什么戴森教授把李天岩与约克的《周期三则意味着混沌》誉为“数学文献中不朽的珍品”？
丁玖：
李天岩教授在回顾李-约克定理怎样产生的历史时，总强调数学家与科学家密切交流的重要性。上世纪70年代初，与他的博士论文导师约克教授同在流体力学及应用数学研究所的费勒（Allan Feller）教授是位气象学家，后者将十年前洛伦茨发表在气象期刊上的关于气象模型的那四篇论文给约克教授看。因为费勒教授认为这些文章过于数学化，一般气象学家不感兴趣，也许搞数学的会感兴趣。约克教授和他的弟子李天岩读了以后，觉得很有意思，从中抽象出一个数学问题，即关于具有周期三点的连续函数的迭代点的最终性态。他们用严格的数学分析证明：这类函数不仅至少有可列个周期点，而且从一个较大集合中的每一个初始点，其轨道的最后走向是不可预测的。因而他们第一次从数学上定义了什么是混沌。
在混沌领域，已有成千上万篇学术论文问世。普林斯顿高等研究院的戴森教授却把李-约克的八页短文、并且仅仅发表在“非顶尖期刊”《美国数学月刊》的《周期三则意味着混沌》（Period Three Implies Chaos）誉为“数学文献中不朽的珍品”。究其主要原因，只能请教戴森本人，但我认为至少有两个根本因素：一是这篇文章所严格证明的李-约克混沌定理像两千年之久的毕达哥拉斯定理（勾股定理）那样无懈可击，永远为真，而许许多多有关混沌的文章缺乏严格的数学证明；另一个原因是李-约克定理开创了科学界对“长期行为不确定性”的这一科学现象探索的新纪元，引领了对混沌学全力研究的一片大潮。
