正文
1925年，柯尔莫哥洛夫大学毕业，
成了鲁津的研究生
。这一年柯尔莫哥洛夫
发表了8篇读大学时写的论文
！在每一篇论文里，他都引入了新概念、新思想、新方法。他的第一篇概率论方面的论文就是在这一年发表的，此文与
辛钦
（A. Y. Khinchin，1894-1959）合作，其中含有三角级数定理，以及关于独立随机变量部分和的不等式，后来成了鞅不等式以及随机分析的基础。他证明了希尔伯特变换的一个切比雪夫型不等式，后来成了调和分析的柱石。1928年，他得到了独立随机变量序列满足大数定律的充要条件；翌年，又发现重对数律的广泛条件。此外，他的工作还包括微分和积分运算的若干推广以及直觉主义逻辑等。
1929年夏，柯尔莫哥洛夫与亚历山德罗夫乘船从雅洛斯拉夫尔（Yaroslavl）出发，沿伏尔加河穿越高加索山脉，最后到达亚美尼亚的塞万（Sevan）湖，在湖中的一个小半岛上住下。在那里，享受游泳和日光浴乐趣的同时，亚历山德罗夫戴着墨镜和巴拿马草帽，在阳光下撰写一部
拓扑学
著作。此书与
霍普夫
（H. Hopf，1894-1971）合作，一问世即成为经典。柯尔莫哥洛夫则在树荫下研究连续状态和连续时间的马尔可夫过程。柯尔莫哥洛夫完成的结果发表于1931年，是扩散理论之滥觞。两人的终生友谊即始于这次长途旅行。亚历山德罗夫后来回忆道：“
1979年是我与柯尔莫哥洛夫友谊的五十周年，在整整半个世纪里，这种友谊不仅从未间断过，而且从未有过任何争吵。在任何问题上，我们之间从未有任何误解，无论它们对于我们的生活和我们的哲学是如何重要；即便是在某个问题上有分歧，我们彼此对对方的观点也抱有完全的理解和同情。
”
而柯尔莫哥洛夫则把这一友谊看作是他一生幸福的原因！
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1930年夏，柯尔莫哥洛夫与亚历山德罗夫作了另一次长途旅行。这次他们访问了柏林、格丁根、慕尼黑、巴黎。柯尔莫哥洛夫结识了
希尔伯特
（D. Hilbert，1862-1943）、
库朗
（R. Courant，1888-1972）、
兰道
（E. Landau，1877-1938）、
外尔
（C. H. Weyl，1885-1955）、卡拉泰奥多里（C. Carathéodory，1873-1950）、
弗雷歇
（M. Fréchet，1878-1973）、波雷尔（E. Borel，1871-1956）、
莱维
（P. Lévy，1886-1971）、
勒贝格
（H. Lebesgue，1875-1941）等一流数学家，与弗雷歇、莱维等进行了深
入的学术讨论。
1930年代是柯尔莫哥洛夫数学生涯中的第二个创造高峰期
。这个时期，他在概率论、射影几何、数理统计、实变函数论、拓扑学、逼近论、微分方程、数理逻辑、生物数学、哲学、数学史与数学方法论等方面发表论文80余篇。1931年，柯尔莫哥洛夫被莫斯科大学聘为教授。1933年，他出版了《概率论的基本概念》，是概率论的经典之作。该书首次将概率论建立在严格的公理基础上，解决了希尔伯特第6问题的概率部分，标志着概率论发展新阶段的开始，具有划时代的意义。同年，柯尔莫哥洛夫发表了"
概率论中的分析方法
"这篇具有重要意义的论文，为马尔可夫随机过程理论奠定了基础，从此，
马尔可夫过程理论成为一个强有力的科学工具。
在拓扑学上，柯尔莫哥洛夫是线性拓扑空间理论的创始人之一
；他和美国著名数学家亚历山大（J. W. Alexander，1888-1971）同时独立引入了上
同调群
的概念。1934年柯尔莫哥洛夫研究了链、上链、同调和有限胞腔复形的上同调。在1936年发表的论文中，柯尔莫哥洛夫定义了任一局部紧致拓扑空间的上同调群的概念。
