概率漫谈

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那么P(H) 是什么呢？如果P(H)等于零，那么P(S) = 0；如果P(H) > 0，那么P(S) = 无穷大。无论如何，都和P(S) = 1的要求矛盾。这下麻烦大了，我们一直依赖的概率定义竟然是自相矛盾的！

也许，从数学家的眼光看来，这个问题很严重。但是，这对于我们有什么意义呢。我们一辈子都用不着这种只存在于数学思辨中的特殊构造的集合！不过，即使我们从实用出发不顾及这类逻辑漏洞，传统概率论还是会给我们带来一定程度的麻烦。

一个问题，可能大家都有所感觉。那就是，我们在本科学习的概率论中有着两套系统：离散分布和连续分布，基本什么定理都得提供这两种形式，但是它们的推导过程似乎没什么太大差别，一个用求和一个用积分而已。几乎一样的事情，为什么要干两遍呢。

还有，那种离散和连续混合的分布又怎么处理呢？这种“离散连续混合的分布”不仅仅是一种理论可能，在实际上它的应用也在不断增长。一个重要的例子就是狄里克莱过程(Dirichlet Process)——它是learning中的无限混合模型的核心——这种模型用于解决传统有限混合模型中(比如GMM)子模型个数不确定的难题。这种过程，在开始时(t = 0)通常是连续分布， 随着时间演化，在t > 0时变成连续和离散混合分布，而且离散部分比例不断加重，最后（几乎必然）收敛到一个离散分布。这种模型用传统的连续和离散分离的处理方式就显得很不方便了。

事实上，我们是可以把对连续模型，离散模型，以及各种既不连续也不离散的模型，使用一种统一的表达。这就是现代概率论采取的方式。

现代概率论——从测度开始

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