3.1 De Rham上同调（1）—— 爸爸去哪儿

萌の数学 · 知乎专栏 · · 2016-07-14 05:41

正文

既然如此，那我们就要问了：如果给定两个函数 $g_1,\,g_2\in C^{\infty}(\mathbb R^2)$ ，我们就一定能找到一个函数 $f\in C^\infty(\mathbb R^2)$ 使得 $\partial_1 f=g_1$ 且 $\partial_2 f=g_2$ 吗？

让我们不妨来试着找找一些必要的条件吧：假设存在这样的光滑函数 $f$ 。嘛，既然 $f$ 是光滑的，那我们就有

$\partial_2 g_1=\partial_2\partial_1 f=\partial_1 \partial_2 f=\partial_1 g_2.$

所以如果上面的问题要存在解，我们就需要加入必要条件 $\partial_1 g_2=\partial_2 g_1$ ; 因此并不是任意的两个光滑函数都可行滴。

好了，假设我们加入了这个必要条件，那我们就有解了吗？

解偏微分从来就不是一件容易的事。不过好在这里的方程比较简单，我们因此可以尝试性地去猜一下（反正又不会怀孕的）。就像我们在一维所做的那样，我们令

$f(x)=f(x_1,\,x_2)=\int_{0}^{1} x\cdot (g_1(tx),\,g_2(tx))\,dt=\int_{0}^{1}x_1g_1(tx_1,\,tx_2)+x_2g_2(tx_1,\,tx_2))\,dt$ ,

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