0.00...1是个什么数？

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这种关于无限小数的想法当然是错误的。回忆一下在实数系中引进无限循环小数的目的和依据：有理数在实数中稠密(即处处都有，任何一个小区间里都有有理数)， 又在有理数中稠密，因此它在实数集中也稠密。因此我们可以用一个m/10^n形式有理数的数列去逼近任何的实数。因此我们的无限小数作为{m /10^n}数列的完成式，在小数点后面跟着的就是个由0-9数字组成的数列，它的每一项都跟自然数有一一对应的关系，而自然数根本就没有最后一项。可见，0.99...是无法写成0.99...9的。

那么，0.00...1是个什么数？

首先指出，它既不是有限小数，也不是我们平常所见的无限小数，因此它根本不是一个实数。

它不是个有限小数，这是显然的，因为小数点后面有无穷个0。那它为什么不是无限小数呢？前面已经说过，任何一个无限小数，后面的小数位按从左到右的顺序与自然数一一对应，任何一个小数位都对应一个有限的自然数。反观0.0...1，最后的那个1，不对应任何有限的自然数，前面的无限多个0就已经把所有自然数都对应完了。从小数运算规律来看的话，如果要把0.0...1与0.99...相加，那么0.99...中所有的9都与0.0...1中的0对应相加，0.0...1最后的那个1要加在哪一位呢？如果按无限小数对应实数的规则把它放在实数轴上，它要放在哪里呢？它非负，又小于所有形如 1/10^n的数，这样的数只有0。因此前面的无限多个0就已经决定了它只能是0了，后面的1对它的值来讲没有意义，没有存在的必要。

虽然在实数的范围内它是没有必要存在的表达式，但我们依然有必要从形式上讨论它，因为现在的数系发展早已经超越了实数，从一维的实数扩展到高维的复数、四元数等；从标准的实数扩展到了非标准的超实数、广义实数等。所以数的范围在扩大，概念并不唯一。在其它数系中是否可能有它的身影呢？我们最好先看看这个数的特征。

因为小数点后面的0的个数已经是无限的了，这些0占满了所有以自然数为标号的小数位，然后在这些无穷多个0后面紧接着又出现了一个1，已经超出了以自然数为下标的数列的研究范围。对于这个形式上的“数”，仅有自然数的知识就不够了，需要把自然数向无穷情形做一种推广。回想上一节的无穷基数的理论，它就是从“ 个数”角度把自然数推广到了无穷的情形，但对于我们的问题，光是讨论小数位的个数是不行的，因为我们说过，在可数无穷多个元素基础上增加一个元素，元素个数没什么改变，仍然是可数无穷，你很容易把最后添加的那个1对应自然数的第一个元素，然后把原来的每个对应位都向后移动一位，所有元素仍然是一一对应于自然数集的。

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