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3.6* De Rham上同调（6）—— 由弱变强之道

萌の数学 · 知乎专栏 · · 2016-12-04 23:53

正文

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这时候我们就需要 Hodge 同志的一个伟大定理了：它告诉我们，任何一个光滑的（事实上 $W^{1,\,2}$ 就足够了）具有紧支撑的 $k$ -形式 $\omega\in \Omega^k(U)$ 都可以（唯一地）写成 $\omega=d\alpha+\delta \beta+\gamma$ ，其中 $\alpha \in \Omega^{k-1}(U), \beta\in \Omega^{k+1}(U), \gamma\in \Omega^k(U)$ 。这里的 $d$ 就是我们之前提到的外微分算子，而 $\delta$ 是与之对应的对偶算子，即

$\int_{U} <du,\,v>\, dx = \int_{U} <u,\,\delta v>\, dx$

其中 $u$ 是一个 $k-1$ -形式，而 $v$ 是一个 $k$ -形式，而 $<du,\,v>$ 表示这两个形式的内积。

可能这些东西太多有点让人晕晕的。不过我们的关注点是在这里的 $k$ -形式 $\gamma$ 上面。这个 $\gamma$ 是一个调和形式，即 $\Delta \gamma=(d\delta+\delta d)\gamma=0$ . 注意到对于这样的 $\gamma$ 我们有

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