正文
这些几何对于图像处理都有密切的关系。我以及我的学生和朋友这十多年来就是用保角几何及种种几何来处理不同的图像。即使是当年看上去不重要的几何，现在实际上都有它重要的用处。这种种的计算都是从对称这个概念发展出来的。从大范围对称到小范围对称，这些在20世纪的基础研究中都有很成功的影响。
三、平行移动
另外一个很重要的概念，我想是很多做工程的人都没有注意到的，就是平行移动的概念。这个概念影响了整个数学界两千年。平行移动的概念其实就是一点和另外一点要有一个很好的比较的方法；计算机也好，图形学也好，在某一点上看到的事情要和其他点进行比较，比较的方法就叫平行移动。这也是一个很广泛、很重要的概念。现在在计算数学里面还没有大量的引进，但是在物理学界已经被大量地使用上了。所以我期望这些基本的概念以后能在计算机里面大量地使用。
四、几何学与计算机相互之间的影响
现在我们具体来讲一些的事情。现代几何为计算数学奠定了很多理论的基础，并且指导了计算机科学未来发展的方向。现代几何广泛应用到计算机的所有分支。举例来讲，计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助几何设计、计算机网络等等都有广泛的应用。再例如，黎曼几何可以用来理解社交网络；现代几何理论也可以用来理解人工智能的特性。要记住，我们讲的几何并不是高中时代的几何，所有与图像或者网络有关的都是几何的一部分。
从另一方面来看，计算机学科的发展为现代几何提供了需求和挑战，也推动了跨学科的发展方向。例如：
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人工智能中的机械定理证明推动了计算代数的发展；
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数据安全、比特币、区块链的发展推动了代数数论、椭圆曲线和模形式的发展；
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社交网络、大数据的发展催生了持续同调理论（persistent homology）的发展；
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动漫、游戏的发展推动了计算共性几何学科的诞生和发展；
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机器学习的发展推动了最优传输理论的发展等等。
五、计算机&几何学研究案例
我们下面举几个具体的例子，分别是图论、计算机图形学、计算机视觉、人工智能、深度学习等。这几个和几何都有密切的联系。
1、图论
我们先讲讲图论。图，就是一大堆顶点、一大堆边把它们连起来，这是最简单不过的事情。对于一个图，譬如交通图，我们要找出它们有着怎么样一个结构，什么地方比较拥挤。有时候我们也要研究怎么将这个图切成小部分，然后分解成简单的子图；如何衡量各个连通分支间的连接度；如何将图染色等。这些问题实际上都跟图上的特征函数有密切的关系。
图上的特征函数跟光滑图形上的特征函数有很类似的地方。我在40年前跟几个朋友，郑绍远、李伟光，做了一个工作，将光滑黎曼流形的特征函数推广到图上，得到了很好的结果。这些结果可以用来决定图上的连结的生成，研究图上的边创造过程，尤其是有个量的估值来控制在图上发散的过程。约束发散的过程可以应用到许多实际的过程中。我们还研究了图上的薛定谔方程，定义了图上的量子隧道概念。这些概念都是从物理上来的，被借用到图上。
假如我们在考虑有向图，就是每个点、每个边，给它一个方向，我们就可以将拓扑学整个引用到图上去，定义了图上的同调群。同调群可以用来研究图上密切的关系和它的内容。
现在我们来讲讲我们做的关于博弈理论的一个事情。进化图论为表达种群结构提供了数学工具：顶点代表个体，边代表个体的交互作用。图可以用来代表各种具有空间结构的群，例如细菌、动植物、组织结构、多细胞器官和社交网络。在进化过程中，每个个体依据自身的适应程度，进行繁殖病侵占到邻近顶点。图的拓扑反映了基因的演化——变异和选择的平衡。类似的，互联网是一个大网，一个非常复杂的网络，我可以在上面研究它的变化。社交行为的进化可以用进化博弈论来研究。个体和邻居博弈，根据收益而繁殖。个体繁殖速率受到自身与其他个体的交互作用影响，从而产生博弈的动态演化。其中心的问题就在于对于给定的图如何决定哪种策略会取得成功。
我们在今年年初的时候在nature上发了篇文章，我们得到一个结果，就是在任何给定的图上进行弱选择，自然选择从两种彼此竞争的策略中如何进行挑选，这个理论框架适用于人类决策，也适用于任何集群组织的生态演化。
我们从弱选择极限得到的结果，解释了何种组织结构导致何种行为。我们发现，如果存在成对的强纽带结构，合作就会大规模出现。我们用数学证明了社会学方面的一个结论：稳定的伙伴或者伴侣，对于形成合作型的社会起到了骨干作用。
