正文
就像前面说的，
我们关注的是几何体或者空间的各个位置的相对关系。
我允许这个东西做形变，只要这种形变既不撕开也不黏合，那么它的各个位置的相对关系就是不变的。我们管这种形变叫
同胚
。
这是一个马克杯，它可以同胚或者说形变成轮胎，我们叫
环面
。
这是一个玩具小牛，你可以想象把它吹得胀起来，得到的就是球。所以我们可以说，这个
小牛玩具和球面是同胚的
。
球面和环面是不同胚的，这个大家在直觉上就可以感觉出来。但是它们到底怎么样不同胚？它们性质又会有什么样的差异呢？这个就是我们拓扑学关心的问题。
那下边，我们就举几个例子，来看一下球面和环面到底有什么差别。
第一个例子有一个非常形象的名字，叫
毛球定理
。
这个定理的数学表述是这样的：
球面上的任何连续向量场必然存在一个零点。
这个概念非常好理解。什么叫向量？就是有一个点，然后画个箭头，这就叫一个向量。那我现在把这个向量画在球面上，意思就是说，我这个向量要贴着球面画，或者说跟球面相切着画就可以了。
▲图片来源：https://www.scientificamerican.com/article/
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theorem-has-surprising-implications/
我在每个点都画一个向量，就可以得到一个叫向量场的东西。我们希望这个向量场的改变不要太剧烈，每个点跟它附近的点的向量箭头的方向和大小都不能突变，这样的向量场就叫连续向量场。我们日常生活中很多东西的改变都是连续的，这个也很好理解。
有了这样一个要求之后，
你就可以尝试在球面上去画这么一个向量场，在每个点画个箭头，最后你会发现，你画来画去总是到了某个点就没法画了。
你要想使这个点和周围的向量保持向量场的连续改变，就只能画0，只能让这个向量值是0。
▲图片来源：https://www.scientificamerican.com/article/
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这个现象并不是因为我们太笨了画不出来，而是因为背后有球面拓扑的阻碍
，它阻碍了你画出这么一个处处非零的连续向量场。所以这个定理就是说，球面上的任何连续向量场必然存在一个零点。
那为什么叫毛球定理呢？
有一个非常形象的解释。
你可以想象一个球上每个点有一根头发
，要把这些头发梳理到球面上，就得到了一个类似于向量的东西。
我希望把头发连续地梳在这个球的表面上，但最后会发现，
不管怎么梳，总是在某些点上没有办法把头发梳下去，使得它和它附近的头发连续改变。
这件事情在日常生活中一点也不稀奇，
就像我们每个人头发都会有旋
，可能有的人有一个旋，有人有两个旋，但无论如何，这个旋上的头发怎么梳的话都会和附近的头发有冲突。
这就是毛球定理，在我们日常生活中大家都有所体验。而它背后的原理，就是因为这样一个向量场必然存在零点。
我们前面说，我们想知道球面和环面到底有什么差别。那么，
环面上有没有“毛环定理”？
是不是在这个环面上放一个向量场，它也总是有零点呢？
▲图片来源：http://www.rdrop.com/
其实，只要去动手实验一下就会发现。图上画了两种方式，结果都是
在环面上能够存在一个处处非零的向量场。
绿色箭头是沿着环的纬线方向画的，我在每一个纬线方向上都可以放一个箭头，这个箭头沿着圆的方向画下去就可以了，它总是处处非零的。
另外，我也可以沿着圆的经线方向去画箭头。紫色箭头就是沿着圆的经线去画，这样也可以处处非零地画下去。
所以我们看到，从向量场角度来说，球面和环面是很不一样的，
球面上的向量场总是要有零点的，而环面上的向量场不一定有零点
，所以它们在拓扑上是不一样的。
