4.9* Hausdorff维数及其相关（9）—— 翻滚吧球宝宝~$￣︶￣*$)

萌の数学 · 知乎专栏 · · 2017-07-01 03:21

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其实上面的话啰嗦了半天，就是将前面讲过的Haar测度的定义和性质简单复述了一遍而已。只不过我是怎么着都不想把那么可怕的证明放出来吓唬人。值得庆幸的是，我们这里的欧氏空间可不是简简单单地群：我们在上面还有距离的定义呢。在这种情况下，我们可以将一个测度 $\mu$ 的左平移不变性换成一种性质来表述了：

如果一个度量空间 $X$ 上Borel正则（ Borel regular ）的测度 $\mu$ , 对于任意 $x,\,y\in X,\ 0<r<\infty$ ，都满足 $0<\mu(B(x,\,r))=\mu(B(y,\,r))<\infty,$ 则我们称它是一致分布的（ uniformly distributed ）.

简单地来说，我们就让球宝宝在空间里面滚来滚去……~(～o￣▽￣)～o 滚来滚去……o～(＿△＿o～) ~ 但是无论滚到哪儿，它的大小都是不变的。显然平移不变的测度也满足上面这个性质。现在我们就试图用这个性质来证明，（左）平移不变测度如果存在则是唯一的（模去一个乘积常数）。

Haar测度：是我，是我先，明明都是我先来的……被介绍给大家也好，列出我的性质也好，还是将我应用在实际问题上也好……为什么你却要去证明一致测度的唯一性而不是我的啊？

一个简单的解释就是，由于一致分布的测度下的球的测度和球的位置无关，而只跟球的半径大小有关，因此这个测度在空间中的“密度分布”基本上是平均的；这也就是这个测度名字的由来。不过在数学上，我们还是需要严格地推理的：假设我们有两个这样的测度 $\mu$ 和 $\nu$ . 对于 $x\in X$ , 我们定义两个函数