正文
为了更一般地推广，可以将矩阵A 进行分解，进而重新定义矩阵T，这相当于在每一条键上面引入新的自由度{s}来取代初始定义在格点上的自由度{σ}，这样就得到了一个常见的定义在初始晶格上的张量网络模型。更高维度的Ising模型可以类似地映射为一个高维的张量网络模型。图1(e)给出了二维Ising 模型的一种类似构造方式。要注意的是，图1 这种映射不是唯一的，一个经典统计模型的配分函数写成多种形式的张量网络求和，这涉及到对偶变换、规范变换等一系列物理概念，有兴趣的读者可以参考文献。
事实上，任何只具有局域相互作用的经典统计模型，其配分函数都可以写成张量乘积求和的形式，即都可以精确映射为一个张量网络模型。映射完成之后，对经典统计模型自由能的计算就完全转化为对张量网络模型的求解。精确求和一个一般性的高维张量网络，是一个#P-完备问题。物理学家将重正化群的思想引进来，发展出了各种各样的近似求解方法。这些方法按照对问题的约化方式，大致可以分为两种，即转移矩阵类和粗粒化类。转移矩阵类的思想是将二维的张量网络求和，转化为一个转移矩阵的最大本征值问题，进而结合重正化群的方法，或求解该转移矩阵的有效低维表示，如DMRG、转移矩阵重正化群，或求解该转移矩阵最大本征态的有效低维表示，如时间演化块消减算法，以及更对称的推广，即角转移矩阵重正化群算法。粗粒化类的思想，是使用局域近似来模拟Kadanoff 的块自旋消减过程，从而实现对系统自由度的重正化。局域近似可以通过一些数学手段来实现，图2 显示了基于矩阵奇异值分解(singular value decomposition， SVD) 和张量高阶奇异值分解(higher-order SVD，HOSVD)的重正化群步骤。值得一提的是，基于张量HOSVD的重正化群方法，可以很自然地推广到高维晶格系统，具有较低的计算代价和较高的计算精度。
图2 常用的两种粗粒化重正化群方法
求和一个二维张量网络，可以使用Levin 等人提出的基于矩阵SVD的粗粒化方法，也可以使用我们组提出的基于张量HOSVD 的粗粒化方法。如图2 所示，对于正方晶格，前者首先将正方晶格分成两套子格，将格点上的张量视为一个矩阵，分别按照正反对角线方向做SVD，切断，然后将图中每一个由四个彩色点构成的小正方形求和掉，最终形成一个新的四阶张量；后者将张量沿着格矢方向进行粗粒化，切断时采用张量的HOSVD。一步重正化群之后，两者都将格点数减小一半，前者由于是沿对角线方向做晶格变形，因此所形成的晶格方向发生转动。
转移矩阵和粗粒化这两类方法都可以非常有效地对张量网络模型进行近似求解，在很多经典统计模型的研究中都取得了很好的效果。一般来说，在临界点附近，由于系统关联长度发散，在相同计算代价下，粗粒化类方法的结果要比转移矩阵类差，但由于可以通过分析重正化群流不动点的性质，因此相对来讲，粗粒化类方法更加适合用于分析临界点处的标度行为。
为了提高粗粒化方法的计算效率和精度，物理学家从以下两个方面来分析了这个问题。一方面，可以使用全局近似来取代局域近似，即在对局域自由度进行重正化群变换时，将外部环境与目标系统之间的纠缠考虑进去，这类似于DMRG中约化密度矩阵概念的引入。在此基础上发展起来的方法有二次重正化群、高阶二次重正化群方法等。另一方面，以SVD 和HOSVD为基础的局域近似并不能很好地区分短程纠缠和长程纠缠，而对系统物理起决定作用的主要是长程纠缠，因此，如果能够设计一种更优的局域近似，使得短程纠缠尽可能地被过滤掉，那么经过重正化群变换所筛选出的自由度表示就会更有效。在这个方向上，Wen 和Vidal 等小组将局域变分引入局域的重正化群变化，得到了近似标度不变的不动点张量和纠缠熵行为。
对于只具有局域相互作用的有能隙的哈密顿系统，人们通常认为它的基态，甚至低能激发态，满足纠缠熵的面积定律，即如果将系统分成两部分，则两部分之间的纠缠熵S 正比于边界的面积L
d-1
，而要精确描述该纠缠熵，波函数表示所需要的基矢量的数目D要正比于exp (S) ，即
这就是DMRG在一维(d=1)取得成功的原因，也是它在二维(d=2)只能处理有限系统尺寸的原因。满足面积定律的量子态是一类特殊的状态，它们只占整个Hilbert 空间很小的一部分，但却集中了很大一部分物理上可实现的基态和低能激发态，换言之，对于大多数真实系统中的低能物理研究来讲，人们认为Hilbert空间是可被压缩，该系统是可重正化的。
如何将DMRG推广到高维，同时又满足面积定律呢？事实上，在DMRG被提出不久，人们就发现，DMRG计算过程所生成的波函数其实是一种矩阵乘积态波函数。图3 给出了一种简单的视角来看待这个问题。所谓矩阵乘积态，简而言之：给定构型(单粒子基矢)在波函数中的叠加系数由一系列矩阵乘积求迹得到。这个被发现之后，人们很快从波函数的角度出发，将矩阵乘积态推广到二维，构造了许多二维的张量网络态波函数，甚至使用这种变分波函数来计算三维经典统计模型，这种推广得到的波函数是自然地满足面积定律的。2004 年，Verstraete 和Cirac 等人以投影纠缠对态(projected entangled pair state，PEPS)的名字重新讨论了张量网络态，明确给出了一般性PEPS 的构造方式，以及给定哈密顿量时的系统基态的PEPS 表示的变分求解方法，这引起了人们对张量网络态的极大兴趣。图3(c)给出了正方晶格上PEPS 的一般形式。事实上，PEPS是张量网络态波函数家族中的一个成员，随后越来越多的波函数形式被构造出来，比如多尺度纠缠重正化假设，关联乘积态，投影纠缠单形态(projected entangled simplex state，PESS)等。
