正文
当丘成桐第一次了解广义相对论时，他意识到广义相对论提出了一个有趣的理论问题：
是否存在一个不包含任何物质的时空——一个真空——但其中仍然存在引力？
我们生活的时空并不是广义相对论唯一适用的时空。爱因斯坦场方程，即描述广义相对论的方程，也允许其他解，例如一个既没有物质也没有引力的时空，在这样的时空中，什么都不会发生。但问题是，
一个仍然具有曲率和引力的真空时空是否存在？
“在这样的时空中，
引力将因为拓扑
（即空间的形状）
而不是物质而存在。
”丘成桐解释说。
一个甜甜圈杯
丘成桐后来意识到，数学家
尤金尼奥·卡拉比
(Eugenio Calabi)
在20世纪50年代就已经从几何学的角度提出了这个问题。卡拉比对物体几何形状的精确特征，如大小和角度，与其
拓扑结构之间的相互作用感兴趣。
拓扑对精细结构不敏感，只关注物体的整体轮廓。
例如，一个球和一个泄了气的足球在几何上有很大不同，但它们在拓扑上是相同的，因为这两者不需要任何撕裂或切割就可以从一个物体变换成另一个物体。类似地，拓扑学认为甜甜圈和咖啡杯是等价的，因为一个可以连续变形为另一个。甜甜圈和球体的区别在于甜甜圈有一个洞。
具有给定拓扑的物体可以变形为许多不同的几何形状：球体变成泄气的足球、金字塔或立方体等。卡拉比想，具有某种拓扑的形状是否允许某种特定的几何结构。如果答案是“是”，那么在广义相对论的框架下，所产生的物体可以被视为存在引力的真空。
你可以想象出无数种拓扑形状，但拓扑学家通常将他们的注意力限制在所谓的
流形
上。这些对象在
近距离观察
时，看起来像我们熟悉的普通“
平坦
”空间，即欧几里得空间。例如，球体和甜甜圈在局部看起来就像平坦的二维平面。如果你足够小，就不会注意到它们的曲率，或者它们是否有洞。你可以很容易地在平坦的纸片上绘制球体或甜甜圈的一小块。因此，这两个都是
二维流形
，也称为
曲面
。
球体是一个二维流形，因为它局部看起来像欧几里得平面。然而，球体的曲率意味着球面上三角形的内角和超过 180 度。图片：Lars H. Rohwedder
球体和甜甜圈的另一个共同点是它们都是
紧致的
：你只需要有限数量的二维映射即可覆盖它们。这意味着它们的
范围是有限的
。给定一个甜甜圈或球体，你总能找到一个足够大的盒子来容纳它，尽管这可能是一个非常大的盒子。
但是，流形不一定必须是二维的。还有
