正文
ij
即可，其结果为：
h
ij
(
x
, t) = (2G/r) ∂
2
Q
ij
/∂t
2
(2)
其中r是场点x离源的距离（在所考虑的远场近似下源的尺度远小于场点离源的距离，因此可以忽略源的不同部分与场点距离的差别），
Q
ij
是源的四极矩，定义为：
Q
ij
= ∫d
3
x'ρ(
x
') (x'
i
x'
j
—
⅓
|
x
'|
2
δ
ij
)
(3)
其中ρ是源的质量密度。这里需要说明的是，为表述简洁起见，我们自此处开始将略去时间变量，(2)式的右侧和
(3)
式，以及后文中任何与源有关的计算，其实都是在推迟时刻 t—r 计算的，这是
(1)
式或者说引力波的传播速度为光速的直接要求。另外，
(2)
式只包含了来自物质质量密度的贡献，这是低速近似或非相对论近似的结果。
引力波多极展开中的最低阶项为四极辐射，这是一个很独特的结果，比如跟电磁波就完全不同，因为后者具有所谓的偶极辐射（dipole radiation）。两种表面上看起来颇为相似——比如万有引力定律与库仑定律都是平方反比律，波动方程更是具有相同形式——的理论在这方面为何会如此不同，引力波为何没有偶极辐射呢？这是由守恒定律所决定的。我们知道，偶极矩的定义为
P
i
= ∫d
3
x' ρ(x') x'
i
，对电磁理论来说，ρ是电荷密度，上述偶极矩对时间的各阶导数可以是非零的，从而可以有偶极辐射。但引力理论的情况完全不同，对它来说ρ是质量密度，因而偶极矩
P
i
正比于源的质心位置，其对时间的一阶导数正比于源的总动量，在所考虑的近似下是一个守恒量。这就意味着其对时间的二阶导数——这是辐射场及辐射能流所包含的导数——恒为零，这是引力波不存在偶极辐射的根本原因。
更一般地说，在单极、偶极和四极这几种最低阶的多极展开项中，单极辐射出现的条件是源的总量不守恒，由于电荷和能量都是守恒的，因此电磁理论和引力理论都没有单极辐射
[4]
；偶极辐射出现的条件则是源的“荷动量”（charge-momentum）不守恒，由于电磁理论的“荷动量”确实不守恒，因此电磁理论有偶极辐射，而引力理论的“荷动量”乃是普通的动量，是守恒的，因此引力理论没有偶极辐射
[5]
。
引力波多极展开的最低阶是四极辐射这一特点也使得引力波更为微弱，因为在所考虑的近似条件下辐射的“极”数越多，辐射就越微弱（感兴趣的读者可以定性地估计一下辐射强度与辐射的“极”数之间的关系）。当然，这只是使得引力辐射微弱的原因之一，而且并非最主要的原因，最主要的原因是引力相互作用本身是目前已知的四种基本相互作用中最弱的，比另三种相互作用——强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用——都弱几十个数量级。当然，基本相互作用之间的这种比较是以微观世界为标准进行的，从而不能一概而论。比如引力本身在天体尺度上就绝不微弱，而引力波虽然在普通的天体尺度上依然微弱，却也并非总是微弱，在特殊的强引力场天体的特殊运动中可以变得很强，甚至强到令人难以想象，这些我们在后文中将会看到。
引力波多极展开的最低阶是四极辐射还有一个微妙的“副作用”，那就是在历史上曾使一些物理学家对引力波的存在做出过错误判断。比如继庞加莱之后引力波研究中的另一位“算不上先驱的先驱”，德国物理学家亚伯拉罕
（Max Abraham）
曾于1912年提出了自己的引力理论，并正确地意识到了引力波不存在偶极辐射（如前所述，这一特点源自守恒定律，从而可以不依赖于广义相对论而得到）。但也许是太看重引力波与电磁波的相似性，亚伯拉罕从不存在偶极辐射这一特点中鲁莽地舍弃了引力波的存在（当然，由于他的引力理论是错误的，即便没有舍弃引力波的存在，也难以得到正确的定量结果）。无独有偶，爱因斯坦本人在研究引力波之初也曾对引力波的存在作出过有可能是否定的判断。在1916年2月19日给德国同事施瓦西
（Karl Schwarzschild）
的一封信里，爱因斯坦表示在得到了完整的广义相对论之后，自己已用不同的方法处理了牛顿近似，得出的结论是“不存在与光波相类似的引力波”（there are no gravitational waves analogous to light waves）。
爱因斯坦的这一结论引起了一些好奇，比如《爱因斯坦全集》的编者之一、美国阿肯色大学的物理学家坎尼菲克
（Daniel Kennefick）
就对爱因斯坦得出这一结论的原因作了若干猜测。其中首先被猜测为原因的就是引力波不存在偶极辐射这一特点，因为爱因斯坦在信中直接提及了这一特点——虽然并未将之称为原因。除此之外，由于爱因斯坦提到了牛顿近似，坎尼菲克猜测他有可能尝试过从所谓的“后牛顿近似”（post-Newtonian approximation）入手研究引力波。后牛顿近似并不是研究引力波的方便手段，因为在这种近似中，以源的运动速度——确切地说是其与光速的比值 v/c——的幂次来排序的话，要计算到五次项才能显示引力波的存在（五次项对应的是引力波四极辐射带来的辐射阻尼效应），这远远超出了早期广义相对论研究的范围
[6]
。坎尼菲克认为，后牛顿近似中的低次项未能显示引力波的存在也有可能是爱因斯坦认为引力波不存在的原因。
坎尼菲克
坎尼菲克的这些猜测不能说没有道理，但在我看来有一定的过度解读之嫌，因为爱因斯坦所谓的“不存在与光波相类似的引力波”，从字面上看，完全有可能只是说引力波哪怕存在，也并不“与光波相类似”（比如不存在偶极辐射），而未必是全盘否定引力波的存在 （因此我们在上文中只称之为“有可能是否定的判断”）。由于爱因斯坦没有在其他文字中对这句话作出过进一步说明 （事实上也没有进一步说明的必要了，因为通信对象施瓦西在不到三个月之后就不幸去世了），他这句话的真实含义可能永远只能从猜测的意义上去解读了。但考虑到此后不久爱因斯坦就发表了明确肯定引力波存在的论文——即我们在《
时空的乐章——引力波百年漫谈：从早期猜测到弱场近似
》中的“广义相对论的弱场近似”中提到过的他的第一篇引力波论文“引力场方程的近似积分”，我倾向于猜测“不存在与光波相类似的引力波”并不是对引力波的全盘否定，而很可能只是对研究过程中发现的诸如不存在偶极辐射之类有别于电磁波的引力波特性的一种表述。
有关引力波的另一个微妙的问题是它是否携带能量。从前面的介绍中我们看到，引力波是时空本身的波动——因为其波幅是时空偏离平直的程度
h
μν
。如果说音乐是空气的波动，那么引力波不妨称之为时空的乐章。但这个浪漫的名称掩不住一个问题，那就是时空是看不见摸不着的，我们对它的量度依赖于度规，度规又跟坐标的选择有关，而坐标的选择在广义相对论中却是任意的。那么，所谓时空的乐章，所谓时空本身的波动，会不会纯粹是一种坐标带来的幻象呢？这不是钻牛角尖，而是一个很正经的问题，因为如果坐标本身在波动，那么哪怕平直的时空也会看上去仿佛是波动着的，就好比用一把本身就在伸缩的尺子去量一个物体，哪怕物体的长度是固定的，每次量得的结果也可以是不同的，但那显然是尺子的问题而不是物体的长度在变。
事实上，爱因斯坦本人就曾注意到，采用不同的坐标可以得到不同类型的引力波，其中的某些类型确实只是坐标本身相对于平直时空的波动，而不是真实的引力波。以验证广义相对论的光线偏折效应而成名的英国物理学家爱丁顿
（Arthur Eddington）
也从坐标角度出发质疑过引力波，他发现引力波的某些分量的传播速度是跟坐标的选择有关的，从而十分可疑，他并且将这种引力波的传播速度戏称为“思维的速度”（speed of thought）
[7]
。这种因坐标的选择而产生的问题也可以从另一个角度来看，那就是引力场——如我们在《
时空的乐章 ── 引力波百年漫谈 （二）：从牛顿引力到爱因斯坦时空
》中详细介绍过的——在局域惯性系中是不存在的，或者说引力场能通过坐标变换局域地消去。这个特点意味着对一个自由漂浮的质点——真正意义上没有大小的质点——来说，无论多么强大的引力波都是不存在的——美国物理学家惠勒曾用“自由漂浮就是自由漂浮就是自由漂浮”（free float is free float is free float）来强调这一引人注目的特点。假如无论多么强大的引力波对于一个自由漂浮的质点来说都是不存在的，那引力波还有实在性吗？
