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什么是大数?怎样搞出一个大数?

中科院物理所  · 公众号  · 物理  · 2024-11-12 10:31

正文

Googology

综合俄罗斯塔斯社和英国《每日电讯报》2024年10月30日报道,俄罗斯政府对谷歌给出的罚款达20, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000(35位数字)美元,这一数字远超全球GDP总和(2023年为约110万亿美元,是一个15位数字)。

这个数字很大很大吧!那么这个数用中文怎么读呢?

为此,我们先了解一下计数单位。从103的“千”(thousand)开始,每隔1000升一级,直到1048的“极”(Quindecillion),计数单位的汉字(源于古印度梵书数系统[1])和英文名称如下:

  • 103 千 Thousand
  • 106 百万 Million
  • 109 十亿 Billion
  • 1012 兆 Trillion
  • 1015 一千兆 Quadrillion
  • 1018 一百京 Quintillion
  • 1021 十垓 Sextillion
  • 1024 秭 Septillion
  • 1027 一千秭 Octillion
  • 1030 一百穰 Nonillion
  • 1033 十沟 Decillion
  • 1036 涧 Undecillion
  • 1039 千 Duodecillion
  • 1042 百正 Tredecillion
  • 1045 十载 Quattuordecillion
  • 1048 极 Quindecillion
按上面的计数单位,俄罗斯给谷歌的罚款的数量级,在中文里读作“一百”,用英文里说就是“ten decillions”。
说明:涉及大数的计数单位,不同的文献给出的中文名称不统一,本文参考的资料给出的只是其中一种,读者不必纠结具体的称谓。
其实,计数单位远不止上面这些,例如还有:1052(恒河沙)、1056(阿僧祇)、1060(那由他)、1064(不可思议)、1068(无量)、1072(大数)、1076 (全仕祥)和10100(古戈尔)等等[1]
这里面,10100的名称“古戈尔”是外来词,它是美国数学家爱德华·卡斯纳的侄子米尔顿·西罗蒂造出的计数单位“Googol”的音译,它代表1后面有100个0。它比宇宙中所有可观测的全部基本粒子数量(约1097)还多,一般被认为是最大的计数单位。

你可能注意到,googol和google看起来有点像?

实际上,谷歌的创始人拉里·佩奇的确曾想将他们研发的大规模网页数据索引网站定名为googol,意喻海量的网页信息。结果在注册域名时错误地输入成google,google就这样将错就错成了他们公司的名字。

并且,以googol为基础构造的词语googology,是研究如何表示大的自然数的学科——“大数数学”的英文名称,下图中的圆形图案是大数数学的一种常见Logo。

Googology logo[2]

看到这里,俄罗斯罚谷歌这个款的数字,还是有点意思哦,不知是不是受到谷歌的logo中的多个o的启发?只是,既然这个罚款如此之大,肯定也没法执行,那怎么不索性罚一个古戈尔?那样更配得上谷歌的名头了。

不过,无论如何,俄罗斯的罚款还是有意义的,它让2×1034这个数在现实中被实现了,而不再是虚无的数字了。

好,闲话不说,现在回到本文的主题——怎样创造一个大数?

很多人可能觉得这个问题有点莫名其妙,数字要多大就多大,还用得着去创造吗?

比如说,你说a=10100很大是吧?那我来一个b=10100000呀!你嫌不够大,给出c=10b,那我就来d=10c咯,就这样下去,无穷无尽,要多大就可以多大,甚至无穷大都可以。

是这样吗?

答曰:非也!

根据大数数学,大数的创造要考虑两个方面的问题。

第一,数必须是有根据的和来由的,不是说你想多大就多大,也就是说,无论多大的数,必须是有意义的。

例如,一摩尔某单质所含的原子个数,也就是阿佛加德罗常数,它等于6.02×1023IPv6协议下的IP地址总数为2的128次方,号称能使“地球上每粒沙子都拥有一个IP地址”;六阶魔方的状态数共有1.57153×10116种,这些数都是有意义的数。

那是不是说,上面这些就算是大数了呢?

不不不,这些根本不是什么大数!

真正的大数都不能仅靠加、乘和幂运算来获得,所以构造大数还需要考虑第二个问题——必须采用更加高级的运算法则和符号体系。

下面来逐步讲讲这个问题。

温馨提示:大数数学非常高深,本文只讲点皮毛,有兴趣的可自行进一步学习。

诸君想想,基于小的数构建更大的数,要怎么做?废话,当然是通过运算让小的数变大啊,那么,有哪些方法呢?

第一种,最简单的,就是增加1,这叫后继。用  表示,例如: 第二种,一次性增加若干个1,这就是加法。它比后继运算高级,它可以替代冗长的后继运算,例如: 

所以,加法与后继之间满足如下关系: 第三种,按倍数增加,这就是乘法。乘法是多个加法导致的,所以乘法与加法之间满足如下关系:   第四种,一次做多次乘法,它通过指数来运算,它与乘法之间的关系为: 人们将后继、加法、乘法和指数运算分别称作第0级、第1级、第2级和第3级运算。可以看到,随着运算级升高,更容易得到更大的数。

但是,对于构造真正的大数,这还远不够!

有没有更厉害的符号呢?

有的有的,它就是高德纳箭头,它写作  ,这里的  是指箭头的数量,例如  就是  ,而  就是  ,依此类推。

那么它代表什么样的运算呢?

先说最简单的  ,它就是指数运算,所以 按照前面说的,它是3级运算。

再看双箭头  ,它代表的运算是: 它比指数运算还高一级,它是4级运算。 

而  ,也就是  ,它代表的运算如下,它自然就是5级运算了。 你应该看出规律了吧?没错,  代表  级运算,相邻两级运算之间的关系为: 

现在,我们来举几个具体的例子。

最简单的  ,它就是指数运算,即: 再看  ,它也不难,即: 这个指数塔,计算出来是7625597484987,七万多亿,这个数不小吧!

注意看,上面式子中有括号(),它告诉我们,运算是从右往左进行的。实际上,高德纳箭头的运算本身就是从右往左进行的,这种规则叫“右结合”。所以括号不是必须的,但为了看清楚,你也可以加上括号。

接下来到  ,它应该等于多少呢?

到这里停10分钟,你可以自行先算一下试试。

好,继续吧,按照上面的规则来: 

看懂这个数了吗?它是一个一个由3构成的,共有7625597484987层的指数塔!

等等,你知道这个指数塔有多高吗?你写一辈子都写不完!

假设你每秒钟能写3个3,写完这个幂塔需要80602年。按着键盘不动,每秒出30个,也需要8000多年。

到现在,你大概明白了高德纳箭头的威力了,就凭3个箭头,它就轻松的把这么大的数收入囊中。

但你知道,这不过才刚刚开始,与后面的真正的大数比起来,这个数简直小到可以忽略。

接下来再看  ,你可能觉得它不过比上面那个数大一点,那你就错了!我们来看:这个数由有多大?上面那个7625597484987层的指数塔的巨大数字,现在成了这个数的指数塔的层数,如下所示:看到了吧,如果不借助高德纳箭头,这可不只是一个大到无法想象的数,而是一个大得无法记录的数!

如果你继续考虑  ,你会发现,它的指数塔的层数就是  。

所以,你发现规律了,在  中,当  时,若让  增加1,则新得到的数的单箭头的数量,也就是它指数塔的层数是  。

好,继续来看  ,按照规则,它是:是不是感觉有点炸了的感觉?没错,这个数一下子比上面所有的数大太多了,指数塔都快没法描述了,因为实在是太大了!

按照高德纳箭头的从右往左的顺序,上面这个数可展开为如下所示:

这个图怎么理解?

我们从水平花括号的最左边开始,它是第1个3的指数塔,它有多少层呢?它的层数由第2个3的指数塔表示,这个指数塔的层数由第3个3的指数塔表示,一直这样下去,直到花括号上面最右边那个指数塔,它只有3层。这样一直进行的次数共有多少呢?这个次数又是一个指数塔,它在水平花括号的下面,它有7625597484987层。

那么接下来的  多大?,  在它面前简直可以忽略不计,其展开图表示如下,读者可照上面的类似的方法来理解。

由上可见,对 来说,  的增长会引起数剧烈变大,例如  的指数塔的层数是  ;而如果  增加的话,那数的增加会更加快,例如  ,它的指数塔的层数的层数的层数层数  都不止  ,简直让宇宙都丧心病狂了!

而这个令人炸裂的  就是著名的葛立恒数的守门员。

是的,我们已经摸到令人骇然的大数——葛立恒数的门把手了!  就是葛立恒数的最小成员,表示为  ,后面依次有   一直到  。

数学家与魔术师的罗纳德·葛立恒[3]

葛立恒数的最大数  ,是美国著名数学家,曾任美国数学学会主席的罗纳德·葛立恒(Ronald Graham,1935~2020)提出的[4]。它来源于一篇图论文章证明的一个数的上界,具体关联问题如下:

连接n维超立方体的每对几何顶点,得到一个  个顶点的完全图。将此图的每条边涂成红色或蓝色。对于n的最小值,每个这样的着色至少包含一个四个共面顶点的单色完全子图是多少?
https://googology.fandom.com/
葛立恒数是很多人开始了解大数数学时遇到的第一个数。

那么,  该有多大呢?是不是  ?不是!它是: 没错,它的连续箭头数有  个!所以,逆天的  甚至都无法用高德纳箭头表示了。

后面的      都是按照此规律定义的,即: 

所以葛立恒数的定义为:各个成员之间的关系如下图所示:

可以看到,葛立恒数相邻的成员中,小的与大的比起来,就像一个微粒与宇宙的相比,这是葛立恒数之所以是大数的最重要特征。

毫无疑问,你根本无法想象葛立恒数到底有多大,太烧脑了!

如果你问我,葛立恒数有多大?我只能说:它大到无法回答;如果你问我,葛立恒数的位数有多大?我依旧只能说:它大到无法回答;如果你继续问我,记录葛立恒数的位数的那个数的位数有多大?我还是只能说:它大到无法回答。如果你继续问我,记录葛立恒数的位数的那个数的位数的位数有多大?我的回答依旧如此。

如果你换个方式问,比如你问:像上面这样问你,问多少轮,才可以得到一个可以表示出来地数?那么我的答案是:你需要问的轮数太多了,这个数无法说出来。

如果你非要点具体的、刺激的感受,那你可以这样想,假设全宇宙的空间都装上了墨水,你用它来写3的幂塔:只要你有足够多的纸,你的寿命无限长,你就这样一直写下去,即使用完全宇宙体积的墨水写出来的数,与葛立恒数比起来不过就是零。

所以,不要问一个人葛立恒数有多大,因为没法回答。

那么,葛立恒数就是最大的数吗?

不不不!葛立恒数只是大数数学家族中的普通的一员,如果将大数比作恒星,那么它就像太阳一样,离我们最近,还有很多更大的数,比它大得多。

其实,葛立恒数是一个很简单的数,它的构造只需要中学数学的知识就够了。若用葛立恒数不断套娃,例如G(65)——虽然这没有意义,得到的大数本质上还是葛立恒数的同类,实际上,仅基于指数塔和高德纳箭头构建的大数,不可能形成新的类型的大数。

而更高级的大数构造方法,就需要更多高深数学知识了,比如康威链(高德纳箭头扩展)、ω进制线性数阵、树状结构和BO的结构等等[5]。本文篇幅有限,就不过多涉及了。

比葛立恒数大的数,典型的如TREE(3),它是目前发表在数学期刊上的最大数,它是依赖于树结构导致的一个超级无敌变态的大数,在它面前,葛立恒数可以忽略不计。

参考文献
https://www.zhihu.com/question/583140904/answer/2898030379https://fictional-googology.fandom.com/wiki/The_Googologyhttps://www.cantorsparadise.org/a-titan-among-men-ron-graham-310063e13210/https://waitbutwhy.com/2014/11/1000000-grahams-number.htmlhttps://zhuanlan.zhihu.com/p/617631653



来源:物含妙理

编辑:余荫铠


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