正文
纯数学大致有：数理逻辑、数论、代数、拓扑、几何、分析、组合与图论等分支，它们之间的融合与渗透又产生出许许多多的交叉分支，如代数几何、代数数论、微分几何、代数拓扑、表示理论、动力系统、泛函分析等，以及更多的子分支。
微分方程与概率论是介于纯数学与应用数学之间的分支，它们的理论部分属于纯数学，其余部分则是应用数学。计算数学与数理统计是应用数学最重要的两个分支。
纯数学对于问题的解答往往只停留在研究解的存在性以及个数上，未必讨论解的具体算法（如代数方程求根）。但实际问题的解答一般总要求具体的数据，单有纯数学的结论不能满足要求，因此还要研究算法，以及如何对待巨大的计算量、存储量、复杂性、精确性、速度、稳定性等等问题。这些就是计算数学要解决的问题。
以概率论为基础的统计学称为数理统计。日常生活、社会调查、科学实验都积累了大量的数据，如何从这些数据中科学地得到有用的信息？数理统计研究如何通过有效的收集、整理和分析带有随机性的数据，对所考察的问题做出推断、预测乃至决策的方法。
当代的数学已被应用到很多领域。自然科学：物理、化学、生物、天文、地质、气象等，人文科学：经济、金融、精算、语言、考古等。很多管理科学问题也要用到数学。
这么多有用处的数学，表面上看都属于应用数学。然而，正如 Borel 说的：“
纯数学和应用数学就像是一座冰山——水面上的是应用数学，因为它有用，大家都看得见；水底下的是纯数学。
”[
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没有水底下纯数学的深厚积累，上面的应用数学是建立不起来的。
因为数学研究的是抽象的对象，所以应用范围必然广泛；又因为它的研究手段不是实验，而是逻辑推理。这就决定了它必须是严密的和精确的。因此数学明显地有如下基本特征：
(1) 高度的抽象性与严密的逻辑性
(2) 应用的广泛性与描述的精确性
数学应用的广泛性不仅表现在：它是各门科学和技术的语言和工具，数学的概念、公式和理论早已渗透到其它学科的教科书和研究文献中去了；而且还表现在：许许多多数学方法都已被写成软件，有的还被制成芯片装置在几亿台电脑以及各种电器设备之中，成为产品高科技含量的核心，还有些数学软件则是作为商品在出售。
在这些应用中，我想特别指出：数学是探求知识的重要手段。举一个例子，历史上许多重要的发现，没有数学光靠实验是不够的。现在大家人人用手机，不论多远几秒钟就能通上话，为什么信息能传输得这么快？靠的是电磁波。电磁波是怎样发现的？
英国理论物理学家、数学家麦克斯韦尔(Maxwell)运用电流的法拉第定律、安培定律、电荷的高斯定律和磁场的高斯定律，推出一组偏微分方程。在推写过程中，他注意到原来的安培定律和时间无关，而且与其他几个定律不相容。为了解决这个问题，麦克斯韦尔提出加上一“位移电流”到原先的安培定律中去，写出了今天通用的麦克斯韦尔方程组，这个修正后的方程组导出波动方程，由此预见了电磁波。麦克斯韦尔以液体流动，热传导及弹性力学作为模型，认为“以太”是传导电磁波的媒介
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，尽管这种解释在物理上是不对的，也讲不清楚，但它的数学形式——麦克斯韦尔方程组却是正确的，它奠定了电磁学的基础。后来赫兹(Hertz)在实验上证实了电磁波的存在。
同样地，在量子力学电脑、相对论的理论建立过程中，数学也起了极为重要的作用。
在当今时代，科学计算更是在一定程度上取代实验。一旦研究对象的机理已经清楚，准确的数学模型已经建立，就可以用模拟计算替代部分试验，如核试验等。
数学的基本特征除以上两条外，还有
随着数学研究对象的扩充，数学分支不断增加，方向繁多，内容丰富。同时数学分支之间的内在联系也不断被发现，数学内部的千丝万缕的联系被愈理愈清。希尔伯特-诺特-布尔巴基(Hilbert-Noether-Bourbaki)利用数学分支间的这些被清理过的联系和公理化方法，从规定的几条“公理”及其相关的一套演算规则中提炼出数学“结构”，如代数结构、拓扑结构、序结构等。数学的不同分支是由这些不同的“结构”组成的，而这些结构之间的错综复杂、盘根错节的联系又把所有的分支联成一个整体。在这方面反映了数学的统一性。
对统一性追求的意义在于：对于同一个对象可以从不同角度去认识，不同分支的问题可以相互转化，理论和方法可以相互渗透，从而发展出许多新的强有力的工具，解决许多单个分支方法难于解决的重大问题。
回顾以下历史是颇有裨益的。历史上有三大几何难题：倍立方问题，化圆为方问题，三等分角问题，都是“圆规直尺”的作图题。两千多年了，光用几何方法研究，不知有多少人费了多少心血，可就是解决不了!在那些时代，代数学主要研究解方程。后来笛卡尔用解析几何统一了几何与代数。18世纪末到19世纪初，多项式方程可解性的研究继高斯(Gauss)代数基本定理证明之后应运而生。高斯研究正多边形的圆规直尺作图就换了一个角度，把它看成一个多项式方程的可解性问题，从几何问题转化到了代数问题。后来阿贝尔(Abel)、伽罗华(Galois)在代数上把方程的可解性研究推向了高峰。
什么样的“数”能被圆规直尺作出来？对于事先给定了一组实数 Q，能从它们“尺规作图”出来的数 x，就是从它们出发，作加减乘除以及开平方所能得到的数。也就是说：尺规作图问题可解等价于存在正整数 m，使得 x 属于 F
m
，其中
三等分角的问题是：对任意给定的角θ，作出一个大小为三分之一的角 θ/3。令 α=cosθ，要做出数 x=cos(θ/3)。x 是多项式
