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一种随机微分方程数值模拟的另类方法

风控斋 · 知乎专栏 · · 2017-08-20 00:08

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我们通常熟悉的两种方法是通过离散化上述SDE来求解该方程，即从t=0开始，每一步进行离散化更新 $X_{t}$ .

Euler 方法： $X(t+\Delta t) = X(t) + \mu(X_t,t) \Delta t + \sigma(X_t,t) Z_{t} \sqrt{t}$
Milstein 方法： $X(t+\Delta t) = X(t) + \mu(X_t,t) \Delta t + \sigma(X_t,t) Z_{t} \sqrt{t} + \frac{1}{2} \sigma (X_t, t) \frac{\partial}{\partial x} \sigma(X_t,t)\left[ Z^{2}_{t} \Delta t - (\Delta t)^{2} ] \right]$

这里 $Z_t \sim N(0,1)$ .

为了保证解的收敛性和稳定性，时间间隔 $\Delta t$ 往往需要取的较小。这样如果需要求得期限较长的解需要的部数就会很多。而 WA方法则可以有效地降低求解步数从而提高求解效率。

用WA求解的步骤如下：

将上述的SDE转化为Stratonovich形式： $d X_t = \mu^{'}(X_t, t) dt + \sigma (X_t, t) \circ dW_t \\ \mu^{'}(X_t, t) = \mu(X_t,t) - \frac{1}{2} \sigma(X_t, t) \frac{\partial}{\partial X_{t}} \sigma(X_t,t)$ （注意多出的一项与Milstein 的最后一项在形式上的相似性。）
将方程离散化，每一步分别求解3个常微分方程，其解可以分别用如下的3个积分来表示：

$X^{1}_{t, \Delta t} = X_{t} + \int^{t +\frac{1}{2}\Delta t}_{t} \mu^{'}(X_s,s)ds\\ X^{2}_{t, \Delta t} = X^{1}_{t, \Delta t} + \int^{t + \frac{1}{2}\Delta t + \sqrt{\Delta t} Z_{t} }_{t+\frac{1}{2} \Delta t} \sigma(X_{s}, s) ds \\ X_{t+\Delta t} = X^{2}_{t, \Delta t} + \int^{t + \Delta t}_{t+\frac{1}{2} \Delta t} \mu^{'}(X_s,s)ds$