皮尔士对康托连续统的哲学批判

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相关知识

连续统

连续统是一个数学概念。当人们笼统地说：“在实数集里实数可以连续变动”，也就可以说实数集是个连续统；更严格的描述需要使用序理论、拓扑学等数学工具。这里的连续是相对于离散的概念而言的。在不讨论精确的定义前，有时人们也会谈到一个量可以在某范围内连续取值，或者说该量的变化范围是一个连续统。在数学上，连续统这一术语至少有两种精确定义，但并不等价。另外，连续统一词有时即指实数线或者实数集，这是较旧的叫法；见连续统假设。

目录

1 有序集

1.1 连续统的基数

2 拓扑学

有序集

在集合论中，连续统是一个拥有多于一个元素的线性序集，而且其序满足如下性质（具此性质的序称为“稠密无洞”的）：

稠密：在任意两个元素之间存在第三个元素

无洞：有上界的非空子集一定有上确界

实数集即为连续统的例子；实际上它是连续统的原型。以下是连续统的几个例子：

序结构与实数集同构（序同构）的集合，例如实数集里的任何开区间

扩展的实数轴，以及序同构于它的，比如单位区间。

实的半开半闭区间如 (0,1] 等，以及其序同构。

拓扑学中有一种比实数线还要长的“长线”（en:long_line）

非标准分析中的超实数集

连续统的基数

主条目：连续统的势

康托的连续统假设有时会被叙述成“在连续统的基数和自然数的基数之间不存在任何基数”，这里的“连续统”指的是实数集；连续统的基数即特指实数集的基数。

拓扑学

在点集拓扑学中，一个连续统是指任何非空的紧致连通度量空间（或者非空的紧致连通豪斯多夫空间，但较少用）。

按照以上定义，一个单点集也是连续统。拥有多于一个点的连续统称为非退化的连续统；由连通性和豪斯多夫性质，可知它一定含有无穷个点。连续统理论即是拓扑学中研究拓扑连续统的分支。其中一个有趣的问题是不可分解连续统的存在性：

是否存在这样的连续统 C ，它可以写成两个连续统的并集，且这两个都是 C 的真子集？

答案是肯定的，第一个例子由鲁伊兹·布劳威尔给出[1]。

连续统假设

在数学中，连续统假设（德语：Kontinuumshypothese；英语：Continuum hypothesis，简称CH）是一个猜想，也是希尔伯特的23个问题的第一题，由康托尔提出，关于无穷集的可能大小。其为：

不存在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合。

康托尔引入了基数的概念以比较无穷集间的大小，也证明了整数集的基数绝对小于实集的基数。康托尔也就给出了连续统假设，就是说，在无限集中，比自然数集{0，1，2，3，4......}基数大的集合中，基数最小的集合是实数集。而连续统就是实数集的一个旧称。

更加形式地说，自然数集的基数为 （读作“阿列夫零”）。而连续统假设的观点认为实数集的基数为 （读作“阿列夫壹”）。于是，康托尔定义了绝对无限。

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