4.3 Hausdorff维数及其相关（3）—— 朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋

萌の数学 · 知乎专栏 · · 2017-03-19 20:58

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Hausdorff先生意识到了这一点。他因此就这样去定义的：对于任意的集合 $A\subset\mathbb R^n$ , 我们取一族集合 $\{E_i\},\,E_i\subset \mathbb R^n,\,{\rm diam}(E_i)\le \delta$ 去覆盖它，即 $A\subset \bigcup_i E_i$ ，然后我们计算 $\sum_i {\rm diam}(E_i)^{\alpha}$ . （这里的 ${\rm diam}(E)$ 指的是集合 $E$ 的直径，即 $\sup\{|x-y|\colon x,\,y\in E\}.$ ）自然这里的集合 $E_i$ 可能之间有很多的重合部分，所以自然地我们要对所有这样可能的集合族产生的数值取一个下确界。这样我们得到的一个数值 $\mathcal H^{\alpha}_{\delta}(A)$ 。

Hausdorff先生的想法其实和Lebesgue先生相似：这里的集合族 $\{E_i\}$ 就像是原来的那些小方块，而求和里面的 ${\rm diam}(E_i)^{\alpha}$ 就类似与Lebesgue测度定义里面的面积；不过现在是另外一种“尺度”下的面积而已。（事实上后面我们可以看到，Hausdorff测度和Lebesgue测度是有关系的。）【我会记住填这个坑的我一定会记住的啊哈哈哈~ =￣ω￣=】不过这里有一个奇怪的地方：为啥我们要对集合 $E_i$ 的大小有限制呢？