正文
从匈牙利波兹索尼
（现斯洛伐克首都布拉迪斯拉发）
迁居到了丹麦的哥本哈根，并在1921年发表了相关证明，确认高为1的等边三角形就是满足挂谷条件的面积最小的凸形。
等边三角形就是满足挂谷条件的面积最小的凸形。| 图源：《不可思议:有悖直觉的难题及其令人惊叹的解答》，第13章
资助鲍尔定居哥本哈根的是数学家哈拉尔·玻尔
（Harald Bohr）
——物理学家、量子理论先驱尼尔斯·玻尔
（Niels Bohr）
之弟。极有可能正是这位数学家玻尔向鲍尔介绍了挂谷的转针谜题。
另一方面，挂谷和早期研究者猜测，对于非凸的图形，答案指向三尖瓣线。它是内摆线家族中的一个特殊成员。不过不久之后，人们就意识到还有面积更小的图形。
三尖瓣线丨图源：Kakeya set - Wikipedia
同样在1917年，来自俄罗斯的数学家艾伯拉姆·贝西科维奇
（Abram Besicovitch）
解决了一个看似不同的问题。颇具巧合意味的是，贝西科维奇同样前往丹麦寻求研究职位，而他的主要资助者也是哈拉尔·玻尔。
又过了好几年，贝西科维奇才听说了挂谷那个“具有引人入胜的表述直观性”的谜题，并且提供了一个完全不同寻常、完全出人意料的解答。
1917年，贝西科维奇当时在思考下面的黎曼积分问题：
假如在平面上有一个黎曼可积的函数f，那么是否必定存在着一个直角坐标系（x，y），使得对于每一个固定的y，f（x，y）作为以x为变量的函数黎曼可积，并且f的二次积分就等于重积分∫∫f(x, y)dxdy？
贝西科维奇为了回答上述问题，构建了这样一个集合：
一个包含了指向所有方向的单位线段，但面积
（严格来说是勒贝格测度）
为0的图形。
这个集合被命名为贝西科维奇集
（Besicovitch set）
。因为这种线段集合的存在，所以上述问题的答案是
否定的
。
今天站在后来人的视角，可以看出这个问题本质上是对实分析中的重要定理——Fubini定理的探索和挖掘。然而数学的魅力往往就在于它的出人意料，在贝西科维奇集上应用所谓
的“鲍尔连接”（前文提过的那位鲍尔）
，竟然可以证明，挂谷转针问题的答案是：不存在一个面积最小的图形，因为针扫过的面积可以任意地接近于0。
如此一来，殊途同归，分析学上的积分问题就和平面上的几何问题建立起奇妙的联系，贝西科维奇集也因此被称为挂谷集
（Kakeya set）
。
此外值得一提的是，网络上常见的科普文章，以及一些出版物会犯一个错误。很多人误以为面积为0的贝西科维奇集的存在性本身，可以直接推出“针扫过的最小面积可以是0”这一结论。但是，把指向所有方向的针直接摆放到一起得到的图形，和把一根针连续旋转180°扫过的图形是两码事。实际上，针无法从贝西科维奇集里的一个位置连续地变到另一位置，且使扫过的面积是0。所以才需要“鲍尔连接”的技巧，同时，结论是针扫过的面积可以任意小，但并非为0。
在实数中，对象可能非常接近零，但实际上却不是零。不知何故，这就是技术的症结所在。
——约书亚·扎尔（不列颠哥伦比亚大学）
构造贝西科维奇集的方法有很多，最经典的是被称为“佩龙树”的技巧，它能够简化贝西科维奇的原始构造，以奥斯卡·佩龙
（Oskar Perron）
命名。
想象一个高为1的等边三角形
（还记得这种三角形是最小的满足挂谷问题的凸形吗）
，把它平分，再把两个直角三角形稍微叠在一起，如下图。这个新图形面积比三角形小，但在其中，上面两个尖角的每个角内都能找出长度≥1的线段。
现在重新开始，把三角形平均分为 8 个，把它们两两叠在一起，再两两叠在一起，这种图形就叫作佩龙树。如果重复这个步骤，把三角形分为 16 个，32 个，……， 2
n
个，显然整个图形的面积可以越来越小，并且可以证明随着步骤增长，图形面积无限趋近于0。
