正文
为了理解复数运算和平面几何变换之间的对应关系，我们先用实数来做个热身。实数的加、减运算相当于将代表全体实数的直线
（实轴）
向左或向右移动一定距离。正实数的乘、除则相当于将实轴拉伸或压缩，比如说乘以2及相当于将实轴拉伸2倍，而除以2就是压缩2倍，使得所有点之间的距离都变成此前的1/2。乘以-1相当于将实轴左右调转。
这套规则也适用于复数，只不过稍微多了些花样。给平面上某个点加上一个复数a + bi，就是将该点向左
（或向右，取决于a的正负）
移动a的距离，然后再向上
（或向下，取决于b的正负）
移动b的距离。乘上一个复数则相当于在拉伸或压缩平面的同时旋转整个平面，乘上i意味着将平面逆时针转过90度，所以如果给1乘i再乘i，就相当于将整个平面逆时针转过180度，于是1就变成了-1。复数除法是乘法的逆运算，所以如果乘法拉伸平面除法就压缩平面，反之亦然，然后再反向旋转整个平面。
几乎所有能对实数进行的运算都同样能对复数进行，实际上，很多时候用复数能做得更好，卡丹诺就察觉到了这点，因为用复数我们能解很多用实数无法求解的方程。既然复数这样的二维数系能扩展我们的计算能力，那更高维的数系是不是威力更大呢？很遗憾，当时的数学家没有找到什么简单的手段能继续增加数系的维度，数十年之后，高维数系的秘密方才由一位爱尔兰数学家揭示出冰山一角，而又过了两个世纪，也就是直到今天我们才刚刚开始领教它的强大威力。
1835年，刚过而立之年的数学和物理学家威廉·若万·哈密顿
（William Rowan Hamilton）
发现了如何将一个复数a + bi当作一对实数来处理。当时的数学家普遍采用阿尔冈的方法将复数写成 a + bi的形式，但哈密顿注意到复数可以被看作是两个实数a和b的另一种写法，想通了这一点就可以用一对实数来表示复数，比如a + bi可以记为（a，b）。
这种表示方法的好处是复数的加减运算变得很直观，只须将对应位置上的实数相加减就可以了，比如（a，b）+（c，d）结果就是（a + c，b + d）。哈密顿还找到了该表示中复数乘除法的运算规则，虽然稍微复杂一些，但它保持了阿尔冈所发现的复数漂亮的几何意义。
就这样，哈密顿为对应二维平面几何的复数发明了一套代数运算体系，接着他试图为形如（a，b，c）的三元数组也建立一套这样的代数运算，这样就可以将三维几何与代数联系起来，为此他苦苦追寻多年却劳而无功，后来在给儿子的一封信中他这样回忆那段时光：“每一天早晨，你和你的弟弟威廉·埃德温
（William edwin）
只要一看到我从楼上下来吃早餐，就会问‘爸爸，你会乘三元数了吗？’，而我总是无奈地回答‘不会，我还是只会加减。’”那时的哈密顿还不知道，他给自己设立的目标在数学上是不可能完成的。
哈密顿当时想要寻找的是一个可以进行加、减、乘、除运算的三元数系，这其中除法是最困难的。数学家将可以进行除法运算的数系称为可除代数
（division algebra）
，他们一直对可除代数有一个猜测，但直到1958年才由三位数学家证明这个猜测是个美妙的事实，即只有在一维
（实数）
，二维
（复数）
，四维和八维下才存在可除代数。哈密顿想要成功，除非彻头彻尾地改变数学的规则。
哈密顿的山穷水复在1843年10月16日到来，这一天他与妻子沿着都柏林的皇家运河散步，准备去爱尔兰皇家科学院参加会议，突然之间他灵光一现，要描述三维空间中的转动，仅用三个数是不够的，他还需要第四个数，这样形成一个四维的集合，其中的元素都形如
a + bi + cj + dk
，称为
四元数
（quaternion）
，其中i，j，k表示三个独立的-1的平方根
（即虚数单位）
。
哈密顿后来写到：“彼时彼处，我突然感觉脑海中盘旋的思想电流闭合了，由此激发出来的火花就是i，j，k之间需要满足的等式，这些等式形式是那么完整，我需要做的只是将它们照录下来而已。”接下来他留下了史上最著名的数学家涂鸦，在布鲁厄姆桥
（Brougham Bridge）
的桥墩上刻下了这组等式。今天哈密顿的手刻已经淹没于后人的涂抹之中，取而代之的是一块新立的石板以纪念这次发现。
描述三维空间中的变化竟然需要四维的数组，这看上去也许很怪异，但事实的确如此，描述转动就需要三个数，想象一下飞机如何在三维空间中导航将有助于看清这点，为了保持航向正确，我们需要调节俯仰，也就是机头相对于水平线的上下夹角，接下来需要调节偏航，就像驾驶汽车一样将飞机向左或向右转，最后还需要调节横滚来改变机翼与水平线之间的夹角。与二维平面上类似，三维空间中除了转动同样也有拉伸与压缩，这就需要第四个数来描述。
哈密顿将此后余生都献给了四元数，并发现了很多实际应用，时至今日，很多这类应用中四元数都被更为简单的矢量
（vector）
