二胎政策中的数学

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如果女性生女孩的概率小于或等于生男孩的概率，那么在孩子们最初的比例中女性将最多只占一半。如果每个女性生育孩子的平均数小于2，那么人口不会持续增长，这是因为给定一代人，不是其中的每个人都能被替代（译者注：这里牵涉到“replacement rate/人口替换率”这一概念。粗糙地说，可以认为人口替换率就是每个女性平均生小孩的个数。先考虑每个家庭：夫妇（这一代）共2人，他们的孩子（下一代）的平均数小于2，然后把所有家庭的情况加起来，就能得出：下一代的人数少于这一代，这也就是上文中“人口不会持续增长”的具体原因）。事实上，生男孩的概率要比生女孩的概率略高（男女孩出生比率约为51：49），因此，即使每个女性平均生育2个孩子，还是会低于人口替换率。（译者注：在下一代中女性的数量会少于这一代中女性的数量，从而导致再下一代的人数减少。）不管怎样，M会把男女孩出生比定为50:50。

图3.抛硬币， 50:50的机会生男孩或女孩。

如果该规则意味着女性更容易生出女孩而不是男孩，那么这将给女孩的性别均衡提供支持。然而事实并非如此：根据该规则，对于每个打算继续生下一个孩子的女性，下一个孩子是女孩或男孩的机会依然是均等的，即，都是1/2。于是，对于M而言，很显然女孩并没有变得比男孩更多。每个女性的平均男孩数与女孩数是相等的。（虽然M忽略了某些女性可能会选择流产女胎）。

因为没有一个女性能有超过一个的男孩，所以平均每个女性的男孩数目不能超过一个，同样地，平均每个女性的女孩数目也不能超过一个，给出这样的规则对于性别均衡是没有影响的。所以，平均每个女性的孩子数目最多是2。但是这就最大限度地要求所有的女性成为母亲，并且使每个母亲都有可能需要持续地生无限多个孩子，直到有男孩出生。由于以上条件没有一个可以在实际中发生，所以每个女性的孩子数的平均数目将永远达不到2，因此，人口将不会增长。

然而，R并不相信这种解释并且要求M给出证明。于是，M开始计算：在规则允许的前提下，每个母亲的平均孩子数的最大可能值，请始终记住下面这点：这个值将永远大于实际上的每个母亲的平均孩子数，因为不是所有的女性都会有孩子。此时多胞胎将被忽略，因为这本身就已经是罕见的事件，如果还需要考虑性别并且出现了多于1个男孩的情况那就是更罕见的事件了。

概率

我们记p(1),p(2),……,p(n)依次为一个母亲在其一生中总共有1个，2个， ……， n个女孩的概率，g_i为一个母亲已有i个女孩且还想继续生另一个孩子的概率。则(1-g_i)为一个母亲已有i个女孩且不再想继续生孩子的概率。则

类似地，

一般地，一个女性一生中恰有n个女孩的概率p(n)是

上式等号右边第一项对应于有n个女孩后决定不再生的女性，第二项对应于有n个女孩后又生了一个男孩的女性。

整理上式，得

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