哈密顿量是啥玩意儿？算符又是什么鬼？量子力学小课堂又开课啦！| SciFM Vol.09

任何一个物理量，都由一个厄米算符来表示。

那么第一个问题就来了，算符是个什么东西呢？

简单地理解，算符代表了你对一个函数进行的一种操作。当然，我们说的操作呢，不是说扭一扭舔一舔泡一泡或者扔进垃圾桶之类的实际的动作，而是一些数学上的操作。举个简单的例子，给一个函数f乘以一个常数，比如说，乘以2，就可以得到一个新的函数2f，那么，乘以2这个操作，就可以用一个算符来表示。推广一下，把这个函数f乘以另外一个函数g，也用一个算符来表示。再举一个例子，对一个函数求导数可以得它的导函数，求导这个操作呢，也可以用一个算符表示。所以总结一下就是说，算符，代表了对函数的一个数学操作。

那么，这个算符，具体长什么样子呢？我怎么把一个算符写下来呢？

我们在薛定谔绘景和坐标表象下讨论问题，乘以一个常数2这个操作，其算符具体形式就是一个常数2，乘以一个函数g这个操作，其算符形式就是这个函数g。而求导数这个操作呢，它的具体形式就是微积分里的求导记号d/dx。

关于算符的长相到底是怎么来的，详细说明需要很多数学语言，在这里我们就不具体解释了，有兴趣的同学可以参考任意一本量子力学教材。

最常见，也是最基本的，位置算符，就是粒子的位置矢量r，作用于波函数呢，就是简单的数乘。

动量算符为

其中字母i呢，是虚数单位，字母h上面加一杠念做h bar，等于普朗克常数h除以2π，总之是一个常数就对了。这个倒三角表示求梯度，作用在一个函数上的效果是，对一个多元函数的xyz三个自变量分别求导数再乘以相应的单位向量，得到的是一个矢量。

好的，现在我们明白了算符是个什么鬼，那我们再回过头来看一看哈密顿量具体长什么鬼样子。

首先看第一项，分母m表示粒子的质量，倒三角的平方表示两个梯度算符点乘，作用于函数的效果，就是对三个自变量xyz分别求二阶导数，然后再相加起来，得到的还是一个标量函数。

还记得高中学过的动能表达式吗？没错，1/2mv²，我们换成动量来表达，就是动量p的平方除以2倍的m，在这里，把动量p换成的动量算符，是不是就得到了哈密顿量的第一项呢？因此说，第一项实际上代表了粒子的动能。