主要观点总结
《流形上的微积分》是微分几何大师斯皮瓦克的经典之作，该书在2006年图灵出版社出版，译者是齐民友和路见可。本书涉及高等微积分知识，利用微分流形和微分形式简明系统地讨论了多元函数的微积分。书的内容包括函数、微分、积分、链上的积分以及流形上的积分等。它虽被描述为初等的内容，但其探讨的方法却是现代的。书对于想要跟上世界数学发展步伐的读者或者学习现代数学的思想与方法的人来说很有价值。
关键观点总结
关键观点1: 书籍介绍
《流形上的微积分》是微分几何领域的经典之作，由迈克尔·斯皮瓦克（Michael Spivak）所著，齐民友和路见可翻译。这本书在内容上涉及高等微积分，探讨方法现代。
关键观点2: 书籍内容特色
本书利用微分流形和微分形式简明系统地讨论了多元函数的微积分，包括欧几里得空间上的函数、微分、积分等。原书作者希望读者通过学习和实践掌握现代数学的风格和表述方法。
关键观点3: 书籍的价值与难度
本书对于读者在数学上的发展有着非常重要的价值，特别对于想要学习现代数学的思想与方法的人来说。虽然本书篇幅小、内容简洁，但要想真正掌握现代数学的思想与方法并不容易。需要拿起笔来自己算上一算，通过实践来掌握一些现代数学的风格和表述方法。
正文
读过本书后，后续读物是什么？也如原书序所说：“至少有一半主要的数学分支都可以很有根据地推荐为本书内容的合理的继续．”
由此可以看到，本书所介绍的内容，特别是处理方法对读者在数学上的发展有着非常重要的价值．
那么，本书是不是很难？这要看读者的要求．本书篇幅小，内容简洁，陈述也不晦涩．如果只是粗略读一次，至少能学会现代数学的某些概念、用语和方法．
但是真正的问题在于，现代的与经典的数学比较，在思路、风格上都大有不同．要想学到现代数学的一些思想与方法，进而能运用自如，当然不是易事．所以原书作者希望读者“鼓起勇气彻底学好第 4 章，确信这些努力是值得的”．数学界有一句“格言”：数学不是看懂的，而是算懂的．意思是想要真正掌握数学，唯一的办法就是拿起笔来自己算上一算．所以原书序说“习题是本书最重要的部分”．
当本书的编辑建议为本书编写习题解答时，我们开始还有一些犹豫，因为不少同志都说，如果把习题都解答了出来，一本好书就至少会降低一半价值．但是当我们仔细看过习题后，发现这里几乎没有依样画葫芦般的模仿性操作，也几乎没有什么技巧性的“难题”．书中的习题主要是帮助读者领略或掌握一些现代数学的风格和表述方法．
这就不应该只靠大学生自己单枪匹马地探索解题方法．所以我们仍然选了一些有代表性的题目，阐述了我们自己的想法．但是这些题目也没有完全做到底，读者自己仍然要下苦功夫，甚至查阅一些参考书．可以说，本书的“附录”只是一份参考材料．书中仍有不少习题应该在参考书中寻找解答．因此，第5 章后一部分习题就完全没有给出提示，因为那样会占用太多篇幅．同时原书作者似乎也只是把重点放在前四章和第 5 章的前一半．
无论如何，这个附录一定有许多缺点：可能对习题理解有误，可能解法有误．
至于有些题目做得“不好”是必然的，希望读者不吝赐教．但是如果这些提示对读者有所启发而引发动手解题的欲望，也就完全达到了目的．
原书提到了少量参考书，不仅如原书作者所说的可能不完备，甚至对求解习题也不会有立竿见影的效果．我们也不打算再多列一些．至少，所有关于微分流形、微分拓扑的书，大部分是可以用的．但想要达到上面讲的目的，再读一本篇幅大一点的书似乎是很有必要的．译者想请大家注意原书作者的一本大部头书（五卷集）：M. Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry.Publish or Perish, Inc. Berkeley, 1979．这是一本几何名著，第一卷是讲微分流形的．读者如果有可能下一点功夫至少读上前几章，必会大有收获——但也不一定能找到这里的习题的详细解答．
不少同志使用过本书作为教材．浙江大学干丹岩教授特别详细地提供了自己在教学中发现的原书的错误，我们在修订译本时大都作了修正．武汉大学杜乃林教授在我们编写习题解答时提供了极大的帮助．在此表示诚挚的谢意．这次出版译者自己也改正了一些错误．我们诚恳地欢迎读者继续提出批评意见．
译 者
