正如大家不断指出的那样，数学对理论物理起着难以想象的作用。简直可以认为物理现象仿佛全都遵循着数学的法则。而且在许多场合，物理理论所需要的数学在该理论被发现以前很久就已经由数学家预先准备好了。典型的例子要算爱因斯坦广义相对论中的黎曼空间了。数学对物理如此起作用，其理由何在呢？过去的说法，归结起来是说数学是物理的语言。也许可以说，如广义相对论中黎曼几何的作用就是一种语言。但是在量子力学中，数学却真起了魔术般的神秘作用，在这里无论如何也不能认为数学只是语言了。
翻开量子力学教科书，首先看到的是光的干涉、电子的散射等实验的说明，然后表明，光子、电子等的粒子状态可以用波动函数（即属于某个 Hilbert 空间的向量）来表示并导出与若干状态的波动函数有关的迭加原理。迭加原理认为，状态 A 若是状态 B 与 C 的迭加，则 A 的波动函数就是 B 的波动函数与 C 的波动函数的线性组合，它是量子力学的基本原理。
什么叫粒子的状态呢？例如加速器内电子的状态就是由加速器决定的，所以，粒子状态可认为是该粒子所处的环境。因此在量子力学中就用唯一的波动函数（向量）来表示复杂至极的环境。这里首先是进行简单化、数学化的处理。状态 A 是状态 B 和 C 的迭加是怎么一回事呢？对于教科书中光的干涉等情形，其意义可以认为是显然的，而在一般场合，却很难理解环境 A 是环境 B 与 C 的迭加的意义。虽然根据普通观测的干扰可以说不确定性原理，例如不能同时观测粒子的位置与速度，但毕竟不能把粒子同时放在位置观测装置与速度观测装置中。就是说，粒子不能同时存在于二个环境中。那么什么又是这样二种环境的迭加呢？很难说清楚。另一方面，波动函数的线性组合演算在数学中却是完全初等的、简单明了的。迭加原理认为，这种简明的数学演算表现了复杂奇怪状态的迭加。就是说数学的演算支配着量子力学的对象即物理现象。明白了迭加的物理意义，就知道不是用数式表示它，而是把线性组合表示的状态迭加当作公理，反过来按数学演算来确定迭加的意义。正如 R. Feynman 所说，迭加原理的说明只能到此为止。只能认为量子力学是基于数学不可思议的魔力。所以我认为，在物理现象的背后在着数学现象是无可争辩的。
物理学家研究自然现象，在同样意义上，数学家研究着数学现象。也许有人会说，物理学家做各种各样的实验，而数学家不就是思考吗？但是，这种情况的「思考」就是思考实验的意思，例如与「思考」考试题的性质不同。我们知道，对考试问题，只要适当组合某个确定范围内已知的事实，一小时内一定能够解决，思考的对象、思考的方法都摆在面前。而实验则是为了调查研究原先未知的自然现象，当然其结果就无法猜想，也许什么结果也得不到。数学也完全一样，它是探究未知的数学现象的思考实验，虽说是思考，但思考的对象是未知的，思考些什么为好也不知道。数学研究的最大困难就在于此。
思考实验中最容易理解的形式是调查实例。例如考虑偶数最少可表为几个素数的和的问题。检查一下实际的偶数，2 是素数不算，4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,...，总可以表为二个素数的和。由这一实验结果，可以猜想「除 2 以外的一切偶数都可表为二个素数的和」的定理成立（这是早就有名的哥德巴赫猜想，现在还没有解决）。如果这样几次调查实例，能够猜想出定理的形式，以后就可以考虑证明该定理，那么研究的最初难关就被突破了。当然这是数学，光堆积几个实例还不是定理的证明，证明还必须另外考虑。
初等数论些定理就是首先从这样的实验结果出发引出猜想，然后才证明的。从上个世纪末到本世纪初，由 F. Enriques、G. Castelnuovo 等意大利代数几何学家得到的惊人成果中，依据实验的不在少数。实际上，J.A. Todd 在1930年左右发表的论文中曾明确断言：「代数几何是实验科学」。他们的定理全部得以严密的证明还是最近的事。值得注意的是，尽管他们给出的定理证明还很不完全，但是定理却是正确的。
最近数学的对象一般都非常抽象，实例也还是抽象的，难以想象，因此靠调查实例来猜想定理的形式，在许多情况下首先就不可能。我不知道在这种状况下，发现新定理的思考实验的方式是什么样的。即使说只是含含糊糊地想想思考些什么，恐怕还是不行的。实际就是那样往往是不管怎么去思考都得不到相应的结果。这么说来，数学研究是不是非常困难的工作呢？倒也未必。有时你什么也没干，但却很自然地接二连三看到那些值得思考的事情，研究工作轻而易举地得到进展。这时感受充分表现在夏目漱石在《十夜梦》中描述运庆雕刻金刚力士的话上。引用其中的一部份：
运庆现在横着刻完了一寸高的粗眉毛，凿刀一竖起，就斜着从上一锤打下。他熟练地凿着硬木，就在厚木屑随着锤声飞扬的时候，鼻翼已完全张开鼻孔的怒鼻的侧面已经显现出来。看起来他的进刀方法已无所顾忌，没有丝毫犹豫的样子。
