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4.6* Hausdorff维数及其相关（6）—— 尖沙咀谁说了算？！

萌の数学 · 知乎专栏 · · 2017-04-30 21:41

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怎么搞呢？我们考虑过用球去覆盖，不过那时我们只是对球的大小有一个上界的限制而已。要不我们就把球取成一样的怎么样？Minkowski先生就做了这样的尝试。对于 $A\subset\mathbb R^n,$ 他考虑用尽可能少的半径为 $\epsilon>0$ 的球 $B_i$ 去覆盖，然后用 $N(A,\,\epsilon)$ 去表示这个数值。由于此时的球大小都一样了，如果我们考虑 $\sum {\rm diam}(B_i)^{\alpha}$ 关于 $\alpha$ 的收敛问题，那么实际上就是 $N(A,\,\epsilon)$ 和 $\epsilon^{\alpha}$ 关于 $\epsilon\to 0$ 的增长速率问题。因此如果我们定义

$\overline{\rm dim}_M(A)=\inf \{ \alpha \colon \limsup_{\epsilon\to 0} N(A,\,\epsilon) \epsilon^{\alpha}=0\}$

以及

$\underline{\rm dim}_M (A)=\inf \{ \alpha \colon \liminf_{\epsilon\to 0} N(A,\,\epsilon) \epsilon^{\alpha}=0\}$ ,

此时我们分别得到的就是集合 $A$ 的上Minkowski维数和下Minkowski维数。根据定义，我们跟上一节类似地可以得到，对于 $A\subset\mathbb R^n,$

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