正文
几何是很重要的，因为大家觉得几何就是数学。比方说，现在还有这一印象，法国的科学院，它的数学组叫做几何组。对于法国来讲，搞数学的不称数学家，而叫几何学家，这都是受当时几何的影响。当时的几何比现在的几何的范围来得广。不过从另一方面讲现在的范围更广了，就是我刚才讲到的坐标不一定有意义。一个空间可以有好几种坐标，那么怎样描述空间呢？这就显得很困难啦，因为空间到底有什么样的几何性质，这也是一个大问题。高斯与黎曼建立和发展了这方面的理论。高斯是德国人，我想他是近代数学最伟大的一个数学家。黎曼实际上是他的继承人，也是德国教学家。他们都是哥廷根大学的教授。可惜的是黎曼活看时身体不好，有肺结核病，四十岁就死了。他们的发展有一个主要目的，就是要发展一个空间，它的坐标是局部的。空间里只有坐标，反正你不能讲坐标是什么，只知道坐标代表一个点，所以只是一小块里的点可以用坐标表示。因此虽然点的性质可以用解析关系来表示，但是如何研究空间这就成了大问题。
在这个之前，我刚才又忘了一个，就是基础的数学是欧几里德的书，但是欧几里德的书出了一个毛病。因为欧几里德用公理经过逻辑的手段得到结论。例如说，三角形三角之和一定等于180度，这是了不得的结果。欧几里德可以用公理几步就把它证明了，是一个结论。这个比现代的科学简单得多了。我们刚才听了很多话，科学家做科学研究，第一样就是跟政府要钱，跟社会要钱，说你给了我钱，我才能做实验。当然实验是科学的基础。但是这样一来就会有许多的社会问题和政治问题。欧几里德说，你给我一张纸，我只要写几下，就证明了这个结果。不但如此，我是搞数学的，我说数学理论还有优点，数学的理论可以预测实验的结果。不用实验，用数学可以得到结论，然后用实验去证明。当然实验有时的证明不对，也许你的理论就不对了，那当然也有这个毛病。欧几里德的公理是非常明显的，但是他有一个有名的公理叫第五公设出了问题。这个第五公设讲起来比较长，但是简单地说，就是有一条直线与线外一点，经过这点只有一条直线与这条已给的直线平行。这个你要随便画图的话，觉得相当可信。可是你要严格追问的话，这个公理不大明显，至少不如其它公理这样明显。所以这个第五公设对当时数学界喜欢思想的人是个大问题。当时最理想的情形是：第五公设可以用其它的公理推得，变成一个所谓的定理。那就简单化了，并且可做这个实验。我们搞数学的人有一个简单的方法，就是我要证明这个公理，我先假定这个公理不对，看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾，就证明它是对的了。这就是所谓间接证明法。有人就想用这个方法证明第五公设，但是都失败了。我们现在知道这个第五公设并不一定对，经过一点的并行线可以有无数条，这就是非欧几何的发现。非欧几何的发现，它的社会意义很大，因为它表示空间不一定只有一个。西洋的社会相信上帝只有一个，怎么会有两个空间，或者很多个空间呢？当时这是个很严重的社会问题。不止是社会问题，同时也是哲学问题。像德国大哲学家康德，他就觉得只能有欧氏几何，不能有非欧几何。所以当时这是一个很大的争论。非欧几何的发现一个是J.Bolyai，匈牙利人，在1832年；一个是Lobachevski，俄国人，在1847年。不过我刚才讲到大数学家高斯，我们从他的种种著作中知道他完全清楚，但他没有把它发表成一个结论，因为发表这样一个结论，是可以遭到别人反对的。因此就有这么一个争论。等到意大利的几何学家Beltrami，他在欧几里德的三维空间里造了一个曲面，回曲面上的几何就是非欧几何，这对于消除大家的怀疑是一很有利的工具。因为上述结果是说，假定有一个三维的欧几里德空间，就可以造出一个非欧几何的空间来，所以在欧几里德的几何中亦有非欧几何。你假定欧几里德几何，你就得接受非欧几何，因此大家对非欧几何的怀疑有种种的方法慢慢给予解除。
我刚才讲到高斯与黎曼把坐标一般化，使坐标不一定有意义，这对几何学产生的问题可大了。因为空间就变成一块一块拼起来的东西。那想怎么去研究它呢？怎么知道空间有不同的性质呢？甚至怎么区别不同的空间？我这里有几个圆，画了几个不同的空间，可惜我没法把它投影出来。不过，总而言之空间的个数是无穷的，有很多很多不同的空间。现在对于研究几何的人就产生一个基本问题，你怎样去研究它。这样一个基本的学问现在就叫Topology，拓朴学。它是研究整个空间的性质，如什应叫空间的连续性，怎样的两个空间在某个意义上是相同的，等等。这样就发展了许多许多的工具。这个问题也讨论了。黎曼生活在1826~1866年。德国的教学制度在博士毕业之后，为了有资格在大学教书，一定要做一个公开演讲，这个公开的演讲就是所谓的Habilitationschrift.黎曼在1854年到哥廷根大学去做教授，做了一个演讲，这个在几何上是非常基本的文献，就讨论了这些问题。如何研究这种空间呢？要研究这种空间，如果你只知道空间是随便追磨一块块拼起来的话，就没有什么可以研究的了。于是你往往需要一个度量，至少你知道什么叫两点之间的距离，你怎应去处理它呢？就需要解析的工具。往往你把距离表为一个积分，用积分代表距离。黎曼的这篇1854年的论文，是非常重要的，也是几何里的一个基本文献，相当一个国家的宪法似的。爱因斯坦不知道这篇论文，花了七年的时间想方设法也要发展同样的观念，所以爱因斯坦浪费了许多时间。黎曼这篇论文引进的距离这个观念，是一个积分，在数学界一百多年来有了很大的发展。第一个重要的发展是黎曼几何应用到广义相对论，是相对论的一个基本的数学基础。现在大家要念数学，尤其要念几何学的话，黎曼几何是一个最主要的部分，这个也是从黎曼的演讲开始的。现在黎曼几何的结果多得不得了，不但是几何的基础，可能也是整个数学发展的基础。
我刚才提到一百多年来的发展。所谓的黎曼几何实际上是黎曼的论文的一个简单的情形，是某个情形。黎曼原来的意思，广义下的意思，有个人做了重要的工作，是一个德国人Finsler。所以这部分的几何就叫Finsler几何。他在1918年在哥廷根大学写了一篇博士论文，就讲这个几何。这个几何后来发展不大多，因为大家不知道怎么办。如果这个度量的积分广了一点，对应的数学就变复杂了，不像黎曼的某个情形这样简单。黎曼这情形也不简单。黎曼普通地就写了一个ds的平方等于一个两次微分式，这个两次微分式积分一下就代表弧的长度。怎样研究这样的几何，这是需要一个像黎曼这种天才才有这个办法。黎曼就发展了他所谓的Riemannncurvatureytensor，黎曼曲率张量。你若要搞这类几何的话，就要有张量的观念。而空间的弯曲性，这个弯曲性解析表示出来也比较复杂了，就是黎曼的曲率张量。我们现在大家喜欢讲得奖。我们今天发奖，有奖金，要社会与政府对你的工作尊重。当年的时候你要搞数学的话，如果没有数学教授的位置，就没有人付你工资。一个主要的办法就是得奖金。有几个科学院它给奖金，得了奖金后你当然可以维持一段时间，因此就很高兴。不过很有意思的是我想Riemann~Christofell曲率张量是一个很伟大的发现，黎曼就到法兰西科学院申请奖金。科学院的人看不懂，就没有给他。所以诸位，今天坐在前排几位你们都是得奖人，都是得到光荣的人，我们对于你们寄予很大的期望，后面几排的大多数人没有得过奖，不过我安慰大家，没得过奖不要紧，没得过奖也可以做工作。我想我在得到学位之前，也没有得过奖。得不得到奖不是一个很重要的因素，黎曼就没有得到奖。他的Riemann~Christofell张量在法兰西的科学院申请奖没有得到。
