陈省身：三角形内角和不等于180°

超级数学建模 · 公众号 · 数学 · 2025-06-06 22:30

主要观点总结

本文介绍了三角形外角和为360°的知识点，并探讨了三角形的内角和不一定等于180°的观念。文章通过华人数学家陈省身的一场讲学展开，阐述了从更普遍的角度寻求数学规律和答案的重要性。同时，文章还涉及了非欧几何的应用以及数学在生活中的意义。

这是数学中的一个基本常识，可以通过直观的例子来解释，如一只蚂蚁在多边形边界上绕圈子的例子。

这一观念涉及到欧式几何和非欧几何。在非欧几何中，三角形的内角和可能不等于180°，例如地球上的三角形。

非欧几何在航海学、广义相对论等领域有重要应用。物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。

数学经常走在其他科学的前面，为其他科学提供很多帮助。文章还介绍了超模君研发的数学文化T恤等理工创意产品。

假设一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子（如下图）。每经过一个顶点，它前进的方向就要改变一次，改变的角度恰好是这个顶点处的外角。爬了一圈，回到原处，方向和出发时一致了，角度改变量之和当然恰好是360°。

这样看问题，给“任意多边形外角和等于360°”这条普遍规律找得到了直观上的解释。

陈教授在那次讲学中，没有否定“三角形的内角和等于180°”，因为其中涉及欧式几何和非欧几何。

三角形的内角和不一定等于180°

“三角形的内角和等于180°”是从欧式几何里的公理五（又称之为平行公设）衍生出来的公理。在欧式几何里，“三角形的内角和等于180°”是正确的。

下面简单证明一下”三角形的内角和等于180°“的一般规律：

随着数学研究的进步，到了高斯时代，欧氏几何里的公理五备受质疑。

俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利人波尔约表示：第五公理只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，即“三角形的内角和不一定等于180°”，从而发现非欧几里得的几何学，即 非欧几何。

举个例子，地球的赤道、0 度经线和 90 度经线相交构成一个“三角形”，这个“三角形”的三个角都应该是 90°，它们的和就是 270°！

相反，在凹面上的三角形内角和自然小于180°，所以在非欧几何里，三角形的内角和不一定等于180°。

那些有趣的三角形

我们的生活中存在着许多有趣的三角形，他们的内角和或大于180°，或小于180°，有的还被人们巧妙得利用到各个领域。

比如，可以用作运输的 莱洛三角形：

谢尔宾斯基三角形： 一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，如此无限循环，谢尔宾斯基三角形面积越趋近于零，而它的周长越趋近于无限大。

三维世界不存在 的彭罗斯三角 形：彭罗斯三角形被称为“最纯粹形式的不可能”，它将三个不同角度的三角顶角整合为一个整体，因而本应是一个平面的面发生了扭转，这样的三角形在三维世界是不可能存在的。

这样的“三角形”被艺术家巧妙地用在作品中，比如世界名画：埃舍尔的《瀑布》。