正文
先看一个生活中的例子。
王宏去医院作验血实验，检查他患上了X疾病
（患病比率为千分之一）
的可能性，其结果为阳性。网上的资料显示，实验总是有误差的，这种实验有“百分之一的假阳性率和百分之一的假阴性率”。这句话的意思是说，在得病的人中做实验，有1%的人是假阳性
（即实际是阴性，却得到阳性的结果）
，99％的人是真阳性。而在未得病的人中做实验，有1%的人是假阴性，99％的人是真阴性。于是，王宏根据这种解释，估计他感染X疾病的可能性
（即概率）
为99%。王宏想，既然只有百分之一的假阳性率，那么，百分之九十九都是真阳性，那我感染X病的概率便应该是99%。
可是，医生却告诉他，他被感染的概率只有0.09左右。这是怎么回事呢？王宏的误区在哪里？
医生说：“99％是测试的准确性，不是你得病的概率。你忘了一件事：这种X疾病的患病比率并不大，每千人中只有一个人患X病。”
医生的计算方法是这样的：因为测试的误报率是1%，1000个人将有10个被诊断为假阳性，而根据X病在人口中的比率
（1/1000=0.1%）
，真阳性只有1个。所以，大约11个测试为阳性的人中只有一个是真阳性
（患病）
的，因此，王宏被感染的几率是大约1/11，即0.09
（9%
）
。
实际上，王宏犯了“基本比率谬误”的错误，即忽略了“X病患者在人口中的基本比例为千分之一”这个事实。
谈到基本比率谬误，应先从概率论中著名的贝叶斯定理
[1]
说起。托马斯·贝叶斯
（Thomas Bayes ，1701-1761）
是英国统计学家，贝叶斯定理是他对概率论和统计学作出的最大贡献，是当今人工智能中常用的机器学习之基础框架，它的思想之深刻远出一般人的认知，也许贝叶斯自己生前对此也认识不足。值得一提的是，如此重要的成果却并未在他生前发表，而是在他死后的1763年才由他的朋友发表。本篇将对贝叶斯定理稍作介绍，我们在本系列的后几篇，将讨论贝叶斯学派以及贝叶斯理论在人工智能中的应用。
粗略地说，贝叶斯定理涉及到两个随机变量A和B的相互影响，专业注释为：利用B带来的新信息，应如何修改B不存在时A的“先验概率”P(A)，从而得到B存在时的“条件概率”P(A|B)。或者类似地，也可以将A、B反过来叙述，即如何从B的“先验概率”P(B)，得到B的“条件概率”P(B|A)。正反两种叙述方式分别对应于下图中的实线和虚线。
通过前述王宏的经历我们就能很好的理解这个公式：随机变量A表示“王宏感染X病”；随机变量B表示“王宏的检查结果”。先验概率P(A)指的是王宏没有检查结果时得X病的概率
（即X病在公众的基本概率0.1%）
，而条件概率
（或后验概率）
P(A|B)指的是王宏“检查结果为阳性”的条件下得X病的概率
（9%）
。也就是说，王宏的检查结果将先验概率P(A)
（ 0.1%）
修正成为9%。
贝叶斯定理是十八世纪的产物，却在二十世纪七十年代遇到了挑战，该挑战来自于卡尼曼和特维尔斯基提出的“基础概率谬误”
（Base Rate Fallacy）
。丹尼尔·卡尼曼
（Daniel Kahneman，1934－）
是以色列裔美国心理学家，2002年诺贝尔经济学奖得主。基础概率谬误并不是否定贝叶斯定理，而是探讨一个使人困惑的问题：为什么人的直觉经常与贝叶斯公式计算的结果相悖？如同刚才的例子所示，人们在使用直觉的时候经常会忽略基础概率。卡尼曼等在他的文章 《思考，快与慢》
（
）
中举了一个出租车的例子来启发人们思考这个影响人们“决策”的原因：
某城市有两种颜色的出租车：蓝和绿
（比率为15:85）
。一辆出租车夜间肇事后逃逸，一位目击者认定肇事的出租车是蓝色的。然而，他“目击的可信度”如何呢？公安人员经过在相同环境下对该目击者进行“蓝绿”测试得出结论：正确识别率为80%，20%的情况不正确。也许有读者立刻就得出了结论：肇事车辆是蓝色的概率应该是80%。如果你作此回答，你便是犯了与前文提到的王宏同样的错误，忽略了先验概率，没有考虑在这个城市中“蓝绿”车的基本比例。
那么，肇事车辆是蓝色的
（条件）
概率应为多少？贝叶斯公式能给出正确的答案。首先我们必须考虑蓝绿出租车的基本比例
（15: 85）
。也就是说，在没有目击证人的情况下，肇事车辆是蓝色的概率只有15%，即“A=蓝车肇事”的先验概率P(A)=15%。现在，一位目击者的出现改变了事件A出现的概率。目击者看到车是“蓝”色的。不过，他的目击能力也要打折扣，只有80%的准确率，即也是一个随机事件
（记为B）
。
我们的目的是要得出在有目击证人“看到蓝车”的条件下肇事车辆“真正是蓝色”的概率，即条件概率P(A|B)。后者应该大于先验概率的15%，因为目击者看到“蓝车”。如何修正先验概率？需要计算P(B|A)和P(B)。
因为A=车为蓝色、B=目击蓝色，所以P(B|A)是在“车为蓝色”的条件下“目击蓝色”的概率，即P(B|A) ＝80％。最后还要算总概率P(B)，它的计算麻烦一点。P(B)指的是“目击证人看到一辆车为蓝色的概率”，等于两种情况的概率相加：一种是车为蓝，辨认也正确；另一种是车为绿，错看成蓝。所以：
P(B) = 15%×80% + 85%×20% = 29%
从贝叶斯公式：
可以算出在有目击证人情况下肇事车辆是蓝色的几率=41%，同时也可求得肇事车辆是绿车的概率为59%。被修正后的“肇事车辆为蓝色”的条件概率41%大于先验概率15%很多，但是仍然小于肇事车为绿的概率0.59。
抛硬币、掷骰子之类游戏中涉及的概率，是离散的，抛丢结果的数目有限
（硬币仅有两种结果，骰子为6种）
。如果硬币或骰子是对称的，每个基本结果发生的概率相等。这种随机事件被称为古典概型。数学家们将古典概型推广到某些几何问题中，使得随机变量的结果变成了连续的、结果数目无限多的概型，这种随机事件被称之为“几何概型”。古典概型向几何概型的推广，类似于有限多个整数向“实数域”的推广。了解几何概型很重要，因为与之相关的“测度” 概念
（长度、面积等）
，是现代概率论的基础。
布丰投针问题，是第一个被研究的几何概型。
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图1：布封（Buffon）投针问题
