从无序到有序：2025年玻尔兹曼奖得主如何揭示自然界的隐藏scaling law

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时间标度指数 ϵ ^-3 与空间标度指数 ϵ ^-2 ，反映了黏性导致的协作效应——某一点的涨落会通过吸附规则向邻近区域扩散，形成空间关联。

随机落体模型和黏性落体模型的典型构型丨来源：https://arxiv.org/abs/1606.06602

3. Eden模型：种子生长的随机扩张

Eden模型则展现了更复杂的生长图景。它最初定义在二维平面格点上，但其规则可推广到任意维度。用h ^E (t, x)表示时间t时第x列的高度，其核心规则为：

1. 初始种子 ：固定底边的一排格点（h ^E (0, x) = 0）。
2. 生长规则 ：每一步从所有与现有种子 相邻 的空白格点中， 随机选择一个 加入种子集合。
3. 时间定义 ：设N为已加入的格点数，时间定义为t := N/x，使得平均高度 随时间线性增长，这一点和之前的模型是一致的。

二维随机曲线上的Eden生长，色彩表示时间。来源：https://wap.sciencenet.cn/blog-863936-1429491.html?mobile=1

我们可以通过高度涨落的均方根定义 界面粗糙度 ：

实验发现，当系统规模x和时间t极大时，w(t, x)满足普适标度律：

其中标度指数 （粗糙度指数），z≈1.7（动态指数）。人们在黏性落体模型中发现存在着类似的标度形式（即 scaling law ）——这似乎暗示着 虽然微观规则细节不同 ，但是Eden模型和黏性落体模型的 长期和大尺度行为，存在着某种普适性

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从离散到连续：KPZ方程的诞生

1. Edwards-Wilkinson方程：近平衡态的生长

我们不禁要问： 表面生长模型的空间连续形式是什么？是否存在一个统一的非平衡统计场论形式可以普适地描述诸多离散模型？

在KPZ方程提出之前，Edwards和Wilkinson提出了一个线性方程：

其中 ν 是扩散系数， η (t, x) 是时空白噪声。该方程描述近平衡态下的界面生长，其涨落满足 Edwards-Wilkinson普适性，具有4:2:1动态标度律

Edwards-Wilkinson方程及其变体（如淬火EW方程）被认为是一类空间离散系统的场论形式： 自组织临界理论中的Oslo模型、自旋系统中的XY模型 （在低温自旋波近似下） 、同步系统中的Kuramoto模型 （在强耦合自旋波近似下，我们后文还会提到这个模型） 等。

但Edwards-Wilkinson方程只能描述近平衡的线性扩散行为，如何统一地解释 远离平衡的表面生长问题 呢？

2. KPZ方程：远离平衡表面生长的本质

1986年发表在《物理评论快报》上的文章引入了KPZ方程，它通过建立连续化场论模型揭示了生长过程的本质。Kardar等人提出的KPZ方程为：

其中：

• 扩散项 ν Δh ：对应线性扩散行为

• 非线性项 ：描述局部高度梯度对生长速度

的反馈，对应Eden模型中界面扩张或者黏性落体模型中的黏性效应

• 噪声项： η (t, x)

KPZ方程中的非线性项，来源：Zhao D. and Liping L., A brief introduction to KPZ equation and KPZ universality, Sci. Sin.-Math. 49, 339 (2019).

很容易发现，当KPZ方程中的非线性项系数 λ = 0时，退化为Edwards-Wilkinson方程。

KPZ方程在一维情形下的解满足 3:2:1动态标度律 ，与黏性落体模型和Eden模型的实验结果一致。这一方程成功统一了离散模型的标度行为，成为非平衡界面生长理论的基石。

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从随机落体的独立涨落、黏性落体的协作效应，到Eden模型的界面粗糙化，这些离散模型揭示了生长过程中随机性与非线性竞争的普适规律。KPZ方程通过连续化框架，将离散世界的奥秘转化为数学语言，为理解晶体生长、细菌群落扩张等自然现象提供了核心工具。

Kuramoto Model：同步现象的本质刻画

我们在集智百科上创建了Kuramoto Model的百科词条，也欢迎大家点击学习更详细的关于该概念的介绍：

https://wiki.swarma.org/index.php/Kuromoto%E6%A8%A1%E5%9E%8B

复杂系统由众多相互作用的单元组成。在动态演化进程里，这些单元彼此协调，进而 涌现 出集体行为模式。

同步 ，即两个或更多事件同时发生，是自然界极为常见的现象之一。从无意识的实体到人类，同步现象广泛存在，甚至以花样游泳、跳水等形式成为奥林匹克运动项目。同步对于生命而言至关重要，比如，起搏细胞必须同步放电，才能确保人类心脏正常跳动。

同步属于非平衡涌现形式中最为简单的一种 ，其本质是通过 微观层面的耦合 ，达成系统 宏观状态的一致性 。对于物理学家而言，无生命系统中的同步现象极具吸引力。若将两个完全相同的节拍器放置在架于两个碳酸饮料罐上的木条上，便会观察到，这些原本用于音乐节拍校准的机械装置，其节奏能在短短几分钟甚至几秒钟内实现同步。然而，节拍器是如何“抉择”达到共同节奏的？更为关键的是，它们为何会出现这种同步行为？

同步概念的早期历史

为解答这些问题，我们需回溯至17世纪，走进克里斯蒂安·惠更斯的科学世界。惠更斯堪称荷兰历史上最为杰出的科学家之一，他不仅对天文学、光学研究满怀热忱，在数学领域也造诣颇深。1673年，惠更斯出版了《摆钟论》，这部著作在当时的科学界具有举足轻重的地位，艾萨克·牛顿更是赞誉惠更斯为“现代最优雅的作家”。实际上，摆钟正是惠更斯的发明成果。关于同步现象的科学研究，最早可追溯至1673年惠更斯对两个耦合钟摆同步现象的发现。据传，这一发现源于他在某段卧病在床、闲暇无聊的时期，利用两把椅子、两个钟摆和一个木条所开展的实验：

惠更斯的实验示意图丨Courtesy: Frederique Swist/IOP Publishing

在科学研究领域，现象观察与实验研究往往先行一步。惠更斯虽然观察到了钟摆通过木条的耦合而趋于频率一致，但关于同步的理论研究却滞后。直到20世纪初，这一领域才迎来重大突破。这是由于动力系统理论的建立，人们开始考察微分方程的渐进和长时行为，从意识到了 极限环 的概念。

极限环作为非线性耗散动力系统中一类典型的时间振荡解，本质上和吸引子一样，是动力系统不变集的一种。令人惊奇的是，众多看似毫无关联的系统，其时间振荡竟都能用极限环加以描述。由此，人们逐渐意识到，在形形色色的同步行为背后，极有可能潜藏着共通的物理机理。诸如萤火虫同步闪光、蟋蟀齐声鸣叫，乃至脑电波的节律变化，这些现象背后或许都受同一物理规律的支配 。

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