曹则贤跨年演讲：什么是量子力学？∣ 贤说八道

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，电的机械观 (The mechanics of electricity) ，原子的机械观 (The mechanics of atom) 。Mechanics 被译为力学是错译，英语里的力学是theory of force，德语为die Kraftslehre，但是力的概念在1894年已经被赫兹踢出了物理学，后来的物理学基本不拿力来说事情。Quantum Mechanics (量子力学) ，字面上大约可以理解为关于小物理量世界的道。

量子力学是1900-1928年间一伙儿天才的头脑风暴的产物，他们几乎都出现在这张照片里。这张1927年第五次索尔维会议的合影据说是人类有史以来智商和最高的合影，没有之一。这些天才们之所以能有这样伟大的成就，只不过是因为 确实是天才； 确实早学了数学与物理； 恰巧在那个时空点上 。1927年的第五次索尔维会议，其主题是电子与光子。那一年，光子一词刚在前一年被创造出来。电子与光，就是量子力学，当然也是相对论，关切的对象和思想来源。我个人认为“光是人类同远方的唯一联系，是第一物理对象和工具！”  关于光的性质，人们下意识中都能体会到。

关于光，电影《地道战》的一段唱词特别好。“太阳出来 照 (射线、几何光学) 四方，毛主席的思想闪 金 (光的颜色、光谱学) 光，太阳照得人身 暖 (热效应) 哎，毛主席思想的光辉 照得咱心里亮 (光是信息载体) ，照得咱心里亮。” 短短四句，把光的性质说全了。而电子呢， 也叫阴极射线、β粒子，是1859-1909年间被以不同面目发现、被用多种方式研究的，它对物质的诸多电性质负责。注意，它的发现始终是和光联系在一起的。

图3.  1927年第五次索尔维会议参会者的合影

量子这个概念，最先走进科学，是黎曼1854年的论文 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (论作为几何学基础的几个假设) . 在这篇论文中黎曼提出了流形的概念，奠立了微分几何 (广义相对论的数学基础啊) ，还第一次将量子 (Quanta) 用于科学 ：“流形之通过某些特征或者边界想区分的部分称为 Quanta.  Quanta的比较依其性质或者通过计数得来的分立量，或者通过测量得来的连续量。”

图4. 黎曼1854年的论文截图

和量子力学有关的能量量子的概念，应该出现在玻尔兹曼 (Ludwig Boltzmann，1844-1906) 1877年的论文里。为了得到气体的麦克斯韦分布， ，玻尔兹曼引入了能量单元 (Energieelement) 的假设。一个 n个粒子的体系，每个粒子具有 （0，1，2……p） 个能量单位的能量，则总能量一定的平衡态是什么样子？这个问题等价于在约束 n ₀ +n ₁ +…+n _p =n ，和 0*n ₀ +1*n ₁ +…+p*n _p =E 下求状态数 的最大值。利用拉格朗日乘子法，可得结果为 ，此正是麦克斯韦分布。但是，玻尔兹曼在得到这个分布函数后的应用中，又翻过头来把能量当成了连续的物理量加以处理。能量是连续的，在十九—二十世纪之交的那个年代，是物理学家头脑中根深蒂固的观念。

图5.  黑体辐射示意图及实验得到的谱分布

到了1900年，为了拟合黑体辐射的实验结果，即找出空腔中光的能量密度同频率的关系，热力学老师普朗克 (Max Planck，1858－1947) 大胆地从热力学着手。普朗克主要是在维恩工作的基础上往前摸索的。他从熵概念出发，假设 ，也即 ，解得平均能量 U _ν 为 ，则能量密度为 ，同实验结果符合得非常好。几天以后得到其中的常数 h=6.55x 10 ^-34 Js 。

这个公式的巨大成功带来了极大的困惑。于是，普朗克另辟蹊径。普朗克假设  P= U _ν / hν 是个整数 (不是整数就取近似整数。普朗克一点也不激进) ，这P 个能量单元来自N个频率为ν的谐振子 (作业题1：此处内能被当成了能量，怎么回事？2. 黑体辐射的谐振子模型是怎么回事？) ，则平衡体相当于求 的最大值。利用 S = k logW ，得 ，进一步地可得 。这样普朗克从两种不同路径得到了黑体辐射公式，这个公式从此就叫普朗克规律 (Plancks Gesetz) ，他现在必须认真对待他的假设了 (M. Planck, Annalen der  Physik, 4, 553(1901)) 。 P=U _ν / hν 是整数，这意味着 hν 是光的能量单元？光的能量真有单元，还和频率成正比，啥意思啊？普朗克觉得很难接受。

1905年，爱因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955) 利用辐射的基本能量单位的假说，成功解释了光电效应。他进一步假设固体吸收光也是以吸收整个能量单位方式进行的，这样出射的光电子动能为 ，就能很好地解释光电效应的测量结果。至此， 光有能量单位 尘埃落定！后来，爱因斯坦还提出光的能量单元还有动量单元 hν /c。

图6. 氢光谱的照

量子力学的另一个起源是光谱学的研究。氢气的液化温度是20.28 K，氢是倒数第二个被液化的气体，有了液化氢就有了纯净的氢气。氢气放电的光谱那时可见四条线，波长为6562.10，4860.74，4340.10 和4101.2 Å。这四个波长包含什么秘密呢？1885年巴尔莫老师(Johann Balmer,1825 -1898)发现这四个数是3645.6的 9/5,16/12,25/21和36/32 倍。写成公式就是正比于 ，n=3, 4, 5, 6. 那么，n=7呢？代进去，果然发现有第五条谱线。这说明氢的光谱线还真是有规律的。里兹 (Walter Ritz) 建议把公式 倒过来，写成 的形式。这引导人们猜测也许 对应的波长处都有谱线，实验发现果然如此。那么如何解释这个 的规律呢？

图7. 氢光谱的示意图

1913年，玻尔提出了氢原子的行星模型，他认为光是电子从高能量轨道向低能量轨道跳跃 (Jump, Sprung) 后发出的，这解释了 公式里的减号。可是，行星体系的能量是连续的啊，为什么在氢原子体系里变成了 。玻尔假设电子的轨道角动量是量子化的， ，在这个前提下去解平方反比力下的两体问题，得

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